Folgen//Punktweise vs Gleichmäßige Konvergenz

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hds Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen//Punktweise vs Gleichmäßige Konvergenz
Moin,

wir knabbern hier gerade an einer Aufgabe und deren Lösungsweg:

Gegeben:
wobei f(x) eigentlich f index n (x) ist und ich nicht weiß wie man einen index in latex baut Augenzwinkern

nun soll bewiesen werden daß die Funktion punktweise aber nicht gleichmäßig gegen Null konvergiert. x sei element [0,1]

Unser Ansatz war: Nenner wächst exponentiell, zähler quadratisch -> konvergiert gegen null.
Unsere Begründung war, daß f(0) = 0 während f(x), x>0 abhängig von x ist und somit nicht gleichmäßig konvergent.

Die Begründung in der Musterlösung schaut anders aus.
zum einen der beweis für f konvergent:

- > geht für n gegen unendlich nach null.

erste Frage hier: wie kommen die auf dieses n^3x^3/6 ?
Der restliche beweis: x wird = 1/n gesetzt -> keine nullfolge.
Warum darf man das?

Wären sehr dankbar für hinweise.

Grüße,

Julian
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Sinnlos gewordene Beiträge entfernt.
hds Auf diesen Beitrag antworten »

so. formeln wurden geändert. so dürfte es jetzt besser verständlich sein, oder?
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

So,

Der Term stammt aus der Exponentialreihe . Ein einzelner Summand der Reihe ist kleiner als die ganze Reihe. Der linke Term ist kleiner gleich dem Rechten, weil das Ganze im Nenner steht.

Zu dem Beweis:

gleichmäßige Konvergenz bedeutet ja, dass es zu jedem ein gibt, so dass

für alle und alle x.

Für x = 1/n müsste das also auch erfüllt sein, weil es ja für alle x gelten muss. Wenn die Funktionenfolge für dieses x noch nicht einmal eine Nullfolge bildet, kann das aber nicht sein - das n_0 muss ja unabhängig von x existieren.

smile

EDIT: Alles zusammengefaßt.

Gruß

MisterSeaman
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