Frage zu Beweis für inverses multiplikatives Element |
| 26.08.2021, 21:23 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Frage zu Beweis für inverses multiplikatives Element Z/9 wäre dann {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Hier gilt: 2*5 = 1, 5 hat also ein Inverses. 6 hat aber kein Inverses. Es gibt also nicht für jedes Element aus diesem Ring ein multiplikatives Inverses. Wenn ich zeigen will: Es gibt in Z/m genau dann ein Inverses zu {a}, wenn a und m relativ prim sind muss ich zwei Richtungen beweisen: Richtung 1: Annahme: ggT(a,m)=1 Dann folgt ggT(a,m)=r*a + t*m = 1 {r*a} = {r}*{a} = {1} Das Inverse zu {a} existiert somit und ist {r}. Richtung 2: Hier tue ich mir etwas schwerer: Ich nehme an zu {a} gibt es ein multiplikatives Inverses {b}: Dann muss gelten {b}*{a} = {1} b*a = 1 + k*m Nun nehme ich an ggT(a, m) = t >1: dann teilt t die linke Seite. t kann aber kein Teiler der rechten Seite sein, da t nicht die 1 teilen kann. Daraus schließe ich, dass ggT(a, m) = 1 sein muss. q.e.d. Habe ich hier einen Wurm drin oder kann man dies als Beweis gelten lassen? Ich finde das schon fast zu primitiv, denn in einem Buch über Kryptografie wird das über den Umweg von Idealen und multiplikativen Nebengruppen auf höchst abstrakte Weise hergeleitet und ich frage mich, warum man erst komplizierte Begriffe einführen muss um etwas einfaches zu zeigen. Ich kann mich aber irren... 
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| 26.08.2021, 21:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Passt schon. Einfache Aussagen darf man ganz einfach beweisen. Komplizierte Strukturen braucht man, um komplizierte Aussagen möglichst einfach zu beweisen. |
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| 27.08.2021, 08:43 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » |
wollte nur sicher sein, dass ich mich da als "Ahnungsloser" nicht verrant hatte. |
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