Variation mit Wiederholung für k=n

26.08.2021, 23:33

geminius

Variation mit Wiederholung für k=n

Meine Frage:
Wenn bei einer Variation ohne Wiederholung die Menge k=n ist, wird bei n!/(n-k)! der Nenner ja 1 und dadurch erhält man die gleiche Anzahl Möglichkeiten wie bei einer Permutation ohne Wiederholung. Bei einer Variation mit Wiederholung hingegen, ist es nicht so einfach von n^k auf den Multinomialkoeffizienten zu schließen. Gibt es eine Möglichkeit das ebenfalls umzuformen für den Fall k=n oder übersehe ich etwas?

Meine Ideen:
Ich habe am Beispiel einer 3-elementigen Grundmenge (bspw. Kugeln mit Nummern 1, 2 und 3) überlegt, den Multinomialkoeffizienten jeweils für die verschiedenen Möglichkeiten zu bilden (3!/3!, 3!/2!1! und 3!/1!1!1!) und mit der Anzahl der Elemente zu multiplizieren, aber das hat nicht funktioniert.

27.08.2021, 07:07

early

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RE: Variation mit Wiederholung für k=n
Was genau ist dein Problem? Was willst konkret du berechnen?
Formuliere bitte präziser!

27.08.2021, 09:36

geminius

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Ich suche eine Möglichkeit von der Formel für die Variation mit Wiederholung $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ , auf die Formel für den Multinomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} {n \choose k_1, \dotsc, k_r} := \frac{n!}{k_1!\dotsm k_r!} \end{eqnarray*}$ zu schließen, für den Fall k=n

Die Frage ob es möglich ist, habe ich mir gestellt nachdem ich bemerkt habe dass die Formel für die Variation ohne Wiederholung für den Fall k=n, die gleiche ist wie für die Permutation ohne Wiederholung: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k!)} = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! \end{eqnarray*}$ . Ggf. ist das analog um von der Formel für die Variation mit Wiederholung auf die Permutation mit Wiederholung zu schließen für den Fall k=n.

War das verständlicher?

27.08.2021, 10:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von geminius
Die Frage ob es möglich ist, habe ich mir gestellt nachdem ich bemerkt habe dass die Formel für die Variation ohne Wiederholung für den Fall k=n, die gleiche ist wie für die Permutation ohne Wiederholung: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k!)} = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! \end{eqnarray*}$ .

In letzterem Fall besteht ja auch eine inhaltliche Übereinstimmung. Die sehe ich in ersterem Fall nicht, weswegen dieser "Analogieschluss" gewaltig hinkt. Ist daher auch kein Wunder, dass die Formeln nicht ineinander überführbar sind bzw. keine der beiden Spezialfall der anderen ist.

P.S.: Schau dir mal die Begriffe "Variation mit/ohne Wiederholung" im Englischen an, da wirst du feststellen, dass dort auch sprachlich keine Analogie besteht.

27.08.2021, 11:07

G270821

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Es ist, wie wenn man aus der Toto-Formel die Lotto-Formel (mit Reihenfolge) herleiten wollte.
Es sind zwei völlig verschiedene Spielsysteme.

27.08.2021, 11:31

HAL 9000

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Der wesentliche Unterschied zwischen Variationen und Permutationen mit Wiederholung ist der:

Bei den Permutationen ist genau festgelegt, wie oft jedes Element in der Permutation erscheinen soll. Bei den Variationen hingegen ist diese Anzahl völlig offen, es wird lediglich die Gesamtanzahl der ausgewählten Elemente vorgegeben.

Man kann daher die Variationsanzahl lediglich so mit den Permutationsanzahlen in Verbindung setzen, indem man über sämtliche möglichen Tupel summiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{\left(k_1,\ldots,k_r\right):\\k_1+\ldots+k_r=n}} \binom{n}{k_1,\ldots,k_r} = r^n \end{eqnarray*}$ .

Beispiel $\begin{eqnarray*} r=3,n=2 \end{eqnarray*}$ mit den Tupeln (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) und (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \binom{2}{2,0,0} + 3\cdot \binom{2}{1,1,0} = 3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9 = 3^2 \end{eqnarray*}$

27.08.2021, 16:29

geminius

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{\left(k_1,\ldots,k_r\right):\\k_1+\ldots+k_r=n}} \binom{n}{k_1,\ldots,k_r} = r^n \end{eqnarray*}$ .

Beispiel $\begin{eqnarray*} r=3,n=2 \end{eqnarray*}$ mit den Tupeln (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) und (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \binom{2}{2,0,0} + 3\cdot \binom{2}{1,1,0} = 3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9 = 3^2 \end{eqnarray*}$

So in etwa war meine ursprüngliche Idee, ich hatte nur multipliziert, statt zu addieren. Für n=3, r=3 bspw:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot\binom{3}{3,0,0}\cdot 3\cdot\binom{3}{2,1,0}\cdot 3 \cdot\binom{3}{1,1,1} \end{eqnarray*}$

Deine Lösung ist genau das, was ich gesucht habe. Danke. smile

27.08.2021, 16:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von geminius
$\begin{eqnarray*} 3\cdot\binom{3}{3,0,0}\cdot 3\cdot\binom{3}{2,1,0}\cdot 3 \cdot\binom{3}{1,1,1} \end{eqnarray*}$

Nicht nur "mal" durch "plus" ersetzen, auch stimmen einige der Vorfaktoren hier nicht. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} 3\cdot\binom{3}{3,0,0} + 6\cdot\binom{3}{2,1,0} + 1 \cdot\binom{3}{1,1,1} = 3 + 18 + 6 = 27 = 3^3 \end{eqnarray*}$ .

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