Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen

27.08.2021, 09:51

Lara2021

Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine ganz allgemeine Frage. Mir liegen y-Werte in Abhängigkeit von x-Werten vor und zwar für 3 verschiedene Abstände. Also 3 Kurven(siehe Anhang). Drei Funktionen für jeden Abstand kann ich leicht durch interpolation ermitteln. Gibt es aber auch eine Möglichkeit, eine einzige Formel aus den Daten zu ermitteln mit zwei abhängigen Variablen?

Meine Ideen:
........

27.08.2021, 10:45

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen
Das geht recht gut mit dem Excel-Solver. Falls es Schwierigkeiten gibt, helfen wir gerne.

Viele Grüße
Steffen

27.08.2021, 11:25

Lara2021

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen
Danke erstmal!

Aber verstehe noch nicht so ganz wie das funktionieren soll!

Was muss ich als Ziel eingeben? Ich möchte meinen y-Wert in Abhängigkeit von x und vom Abstand

27.08.2021, 11:39

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen
Das könnte dann vielleicht eine Gleichung wie $\begin{eqnarray*} y=a \cdot e^{b \cdot x \cdot z} \end{eqnarray*}$ sein, das weißt Du besser. Gesucht ist dann a und b.

Jetzt gibst Du die sieben x-Werte in die erste Spalte ein, in die zweite Spalte den dazugehörigen ersten Abstand z, in die dritte die y-Werte. Darunter wieder dieselben sieben x-Werte, in der zweiten Spalte den zweiten Abstand, in die dritte y. Dasselbe noch für den dritten Abstand.

Nun hast Du 21 Wertetripel. Überleg Dir nun sinnvolle Zahlen für a und b und schreib die in zwei Zellen. Schreib die entsprechende Formel mit den festen Zellbezügen in die vierte Spalte.

In die fünfte Spalte könntest Du nun z.B. den Differenzbetrag zwischen Formelwerten und y-Werten hinschreiben. Alle diese Differenzbeträge dann aufsummieren und das Ergebnis in eine Zelle schreiben. Das ist dann das Ziel, das minimiert werden soll, indem die beiden Werte für a und b geändert werden.

28.08.2021, 08:29

Lara2021

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen
Die Formel nach der Interpolation lautet: f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x)

a, b, c und d sind je nach Abstand sehr unterschiedlich! Wie geht man da denn am sinnvosten ran?

28.08.2021, 10:42

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen
Ich hab gerade kein Excel zur Hand, aber das sollte für vier statt zwei Werte genauso in ein Optimum konvergieren, wenn Du vier passende Startwerte einträgst. Probier mal ein wenig rum.

28.08.2021, 13:14

Lara2021

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das könnte dann vielleicht eine Gleichung wie $\begin{eqnarray*} y=a \cdot e^{b \cdot x \cdot z} \end{eqnarray*}$ sein, das weißt Du besser. Gesucht ist dann a und b.

Jetzt gibst Du die sieben x-Werte in die erste Spalte ein, in die zweite Spalte den dazugehörigen ersten Abstand z, in die dritte die y-Werte. Darunter wieder dieselben sieben x-Werte, in der zweiten Spalte den zweiten Abstand, in die dritte y. Dasselbe noch für den dritten Abstand.

Nun hast Du 21 Wertetripel. Überleg Dir nun sinnvolle Zahlen für a und b und schreib die in zwei Zellen. Schreib die entsprechende Formel mit den festen Zellbezügen in die vierte Spalte.

In die fünfte Spalte könntest Du nun z.B. den Differenzbetrag zwischen Formelwerten und y-Werten hinschreiben. Alle diese Differenzbeträge dann aufsummieren und das Ergebnis in eine Zelle schreiben. Das ist dann das Ziel, das minimiert werden soll, indem die beiden Werte für a und b geändert werden.

Wäre super wenn du es genauer erklären könntest. Verstehe nicht wie ich damit mein Ziel erreichen kann? Was ist mit Differentbetrage zwischen Formelwerten gemeint? Was erreiche ich damit? Was ist mit minimiert werden soll gemeint?

28.08.2021, 14:12

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit doppelten Abhängigkeiten erstellen

Zitat:

Original von Lara2021
Was ist mit Differentbetrage zwischen Formelwerten gemeint?

Deine Grafik zeigt doch 21 y-Werte. Und die sollen nun mit der Formel $\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot e^{b \cdot x} + c \cdot e^{d \cdot x} \end{eqnarray*}$ so gut wie möglich dargestellt werden. Das heißt, die Abstände (eben Beträge der Differenzen) zwischen den echten Werten und den Werten, die sich mit der Formel mit bestimmten a, b, c, d ergeben, sollen so klein wie möglich sein. Also auch die Summe all dieser Beträge.

Zitat:

Original von Lara2021
Was ist mit minimiert werden soll gemeint?

Das ist eine Funktion des Solvers. Du teilst ihm die Zellen mit, in denen die Parameter a, b, c, d stehen, und die Zelle der Summe der erwähnten Differenzbeträge. Und letztere soll er minimieren, das kannst Du einstellen.

Probiere es einfach mal aus! Gib einigermaßen passende Vorgaben für a, b, c, d ein und lass ihn laufen. Wenn es klappt, schreibt er die optimalen Werte in die vier Zellen.

EDIT: ich sehe gerade, dass der Abstand z in Deiner Formel gar nicht auftaucht. Wie geschrieben, ich würde ihn jeweils mit x multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} f(x,z) = a \cdot e^{b \cdot x \cdot z } + c \cdot e^{d \cdot x \cdot z} \end{eqnarray*}$

Aber letztlich musst Du das wissen. Eventuell hilft uns ja etwas Kontext weiter...

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