Jede Zahl hat ein Vielfaches der Form 10^r - 10^s

30.08.2021, 12:19

JuliusZäser

Jede Zahl hat ein Vielfaches der Form 10^r - 10^s

Meine Frage:
Jede natürliche Zahl k hat ein Vielfaches der Form 10^r - 10^s

Meine Ideen:
Dies zu beweisen gelingt mir nur mit ungeraden und nicht durch 5 teilbaren Zahlen. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter vorzugehen habe?

30.08.2021, 12:29

Mathema

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Dein Thread wurde gestern schon gesperrt mit dem Hinweis, dass dieses eine aktuelle Wettbewerbsaufgabe ist. Das nennt man Betrug! unglücklich

02.09.2021, 21:52

HAL 9000

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Ok, Einsendeschluss ist nun vorbei.

Zitat:

Original von JuliusZäser
Dies zu beweisen gelingt mir nur mit ungeraden und nicht durch 5 teilbaren Zahlen.

Das schafft man sogar mit $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ , und zwar mit der durch Euler-Fermat logischen Wahl $\begin{eqnarray*} r=\varphi(k) \end{eqnarray*}$ . Diesen Weg auf beliebige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auszudehnen, ist eigentlich kein Problem:

- Abtrennung aller Primfaktoren 2 und 5 gemäß $\begin{eqnarray*} k = 2^u\cdot 5^v\cdot k' \end{eqnarray*}$
- Wahl von $\begin{eqnarray*} s=\max(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=s+\varphi(k') \end{eqnarray*}$

Dieser Weg ist ziemlich konstruktiv, erfordert aber die Kenntnis von Euler-Fermat (vlt. nicht unbedingt Schulstoff).

Alternativweg:

Man dividiert die $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} 10^j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots,k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und betrachtet die zugehörigen Reste, die kann man in die Schubfächer $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ einsortieren. Nach Schubfachprinzip enthält mindestens eines dieser $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Resteschubfächer mindestens zwei Zahlen, dies seien die Reste von $\begin{eqnarray*} 10^s \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 10^r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq s<r\leq k \end{eqnarray*}$ . Dieser gleichen Reste wegen muss die Differenz $\begin{eqnarray*} 10^r-10^s \end{eqnarray*}$ dieser beiden Zahlen dann durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ teilbar sein.

Dieser Weg ist weniger konstruktiv, was das genaue Aussehen von $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ betrifft, dafür wird der Gebrauch solcher "Geschütze" wie Euler-Fermat vermieden. Augenzwinkern

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