Zeige, dass folgendes Gleichungssystem nur eine reelle Lösung hat

30.08.2021, 17:52

Eldar

Zeige, dass folgendes Gleichungssystem nur eine reelle Lösung hat

Meine Frage:
Ich habe das folgende Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2 x-2}{\sqrt{x^2-2 x+y^2+1}}+\frac{2 x-6}{2 \sqrt{x^2-6 x+y^2-8 y+25}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2 x-2}{\sqrt{x^2-2 x+y^2+1}}+\frac{2 x-6}{2 \sqrt{x^2-6 x+y^2-8 y+25}}=0 \end{eqnarray*}$

Ist es möglich, zu zeigen, dass dieses Gleichungssystem nur eine reelle Lösung hat? Bin über jeden Hinweis und Gedankenanstoß sehr dankbar.

Meine Ideen:
Es handelt sich im Grunde um die folgende Kurve:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\sqrt{x^2+y^2-6x-8y+25} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob diese Kurve nur ein (globales) Minimum hat oder ob es weitere (lokale) Minima gibt?

30.08.2021, 18:05

G300821

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RE: Zeige, dass folgendes Gleichungssystem nur eine reelle Lösung hat
Die beiden Gleichungen sind identisch.
Ich sehe kein System. verwirrt

30.08.2021, 18:16

Eldar

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RE: Zeige, dass folgendes Gleichungssystem nur eine reelle Lösung hat
Sorry für den Fehler. Hier ist die zweite (korrekte) Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2 y}{\sqrt{x^2-2 x+y^2+1}}+\frac{2 y-8}{2 \sqrt{x^2-6 x+y^2-8 y+25}}=0 \end{eqnarray*}$

Der Vollständigkeit halber und zum Vergleich hier nochmal die erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2 x-2}{\sqrt{x^2-2 x+y^2+1}}+\frac{2 x-6}{2 \sqrt{x^2-6 x+y^2-8 y+25}}=0 \end{eqnarray*}$

30.08.2021, 18:39

HAL 9000

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Ok, ohne den Faktor 2 im Mittelterm würde es um den Fermat-Punkt des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (1,0) und (3,4) gehen, aber du betrachtest es mit diesem Faktor 2.

Und du bist jetzt nicht primär an dieser Minimumstelle selbst interessiert, sondern nur dass dort das einzige lokale Minimum ist?

30.08.2021, 18:43

Eldar

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Ganz genau - ich möchte gerne zeigen, dass es nur dieses eine (und kein anderes) Minimum gibt.

Wie liest man denn eigentlich diese drei Eckpunkte $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,4) \end{eqnarray*}$ aus der Gleichung aus?

Auch wenn es besser wäre, die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ im Mittelterm zu behalten, können wir die notfalls erstmal weglassen und annehmen (oder später zeigen), dass diese $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ keinen Einfluss auf die Tatsache der Existenz eines einzigen Minimums hat.

30.08.2021, 19:00

Eldar

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Achso! Sehr gut, die drei Eckpunkte $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,4) \end{eqnarray*}$ kommen ja daher, dass wir die ursprüngliche Gleichung umformulieren können als:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}+2\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2} \end{eqnarray*}$

30.08.2021, 19:22

HAL 9000

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Meine Vermutung: Das globale Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} + 2\sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2} \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ . Dort ist die Funktion aber nicht (!) differenzierbar (Knickstelle!), weswegen dein "Gradient=0" in die Irre führt, was die Minimumsuche betrifft. Nein, du musst die Eigenschaft "globales Minimum" dort anders nachweisen. verwirrt

EDIT: Ok, ich hab's - mit eigentlich rein geometrischen Argumenten lösbar. Nette Aufgabe, ich musste gleich mal nachsehen, ob die nicht auch aus dem aktuellen Bundeswettbewerb Mathematik stammt, hätte passen können Big Laugh

EDIT2: Überlegst du noch, hast du das Problem jetzt bereits gelöst, oder aber das Interesse am Problem verloren? Ich merke nur, dass du immer mal wieder reinschaust, aber keine Reaktion auf mein Posting zeigst. verwirrt

31.08.2021, 12:51

Eldar

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Ja korrekt, hab hin und und her überlegt und mir Gedanken gemacht, was ich noch beitragen kann und mir dann doch überlegt, dass ich (bevor ich hier weiter Input gebe) lieber erstmal weiter sammle.

Über einen geometrischen Beweis würde ich mich natürlich sehr freuen.

Also was ich so in der Literatur gesucht und recherchiert habe, ist noch nicht viel, ich poste es aber mal trotzdem schon. Vielleicht gibt hilft es ja ein bisschen

Die Definition von trifokalen Ellipsen könnte ggf. hilfreich sein (siehe angehängtes Bild).
Weiterhin scheint der Wiki-Artikel zum Weber-Problem interessant zu sein, im Genaueren der Abschnitt zu Torricelli’s und Simpson’s geometrischer Lösung.

Hoffe trotz marginalem Input, dass es etwas weiter hilft.

31.08.2021, 13:00

HAL 9000

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Die obige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ gibt für den Punkt $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ sowie die Ausgangspunkte $\begin{eqnarray*} A(0,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B(1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C(3,4) \end{eqnarray*}$ die Summe $\begin{eqnarray*} |AP|+2\cdot |BP| + |CP| \end{eqnarray*}$ an. Nun gilt

1) Laut Dreiecksungleichung ist $\begin{eqnarray*} |AP|+|BP|\geq |AB| \end{eqnarray*}$ , wobei das Minimum $\begin{eqnarray*} |AB| \end{eqnarray*}$ genau dann erreicht wird, wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ liegt.
2) Analog $\begin{eqnarray*} |BP|+|CP|\geq |BC| \end{eqnarray*}$ mit Erreichung Minimum $\begin{eqnarray*} |BC| \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ liegt.

Sollte es gelingen, einen Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zu finden, der beide Summen zugleich (!) minimiert, dann ist er logischerweise auch globale Minimumstelle der Gesamtsumme (gibt es mehrere solche Punkte, dann sind es auch mehrere globale Minimumstellen). Im vorliegenden Fall gibt es nun genau einen solchen Punkt, nämlich $\begin{eqnarray*} P=B \end{eqnarray*}$ . Der ist somit einzige globale Minimumstelle von $\begin{eqnarray*} |AP|+2\cdot |BP| + |CP| \end{eqnarray*}$ .

Das ist allerdings nur der Beweis, dass es genau eine globale Minimumstelle gibt. Solltest du auch noch ausschließen wollen, dass es andere lokale Minimumstellen gibt, dann kann man das mit ähnlichen Argumenten (Dreiecksungleichung) tun: Zu jeder angenommenen lokalen Minimumstelle $\begin{eqnarray*} P\neq B \end{eqnarray*}$ kann man nämlich nachweisen, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} P' = (1-\varepsilon)P + \varepsilon B \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ ) auf der Strecke $\begin{eqnarray*} PB \end{eqnarray*}$ zu einem kleineren Funktionswert führt. Da das auch für $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ gilt, findet man in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ einen solchen Punkt $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ , was der angenommenen Eigenschaft "lokale Minimumstelle" widerspricht.

31.08.2021, 13:09

Eldar

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Das ist eine sehr sehr gute Beweisrichtung. Ich versuche das nachzuvollziehen und auszuformulieren. Ist der obige Input zum Weber-Problem und zu den trifokalen Ellipsen richtig? Ich setze ein Overleaf-Dokument auf - vielleicht kann man ja gemeinsam ein kleines Shortpaper draus machen? Hätte da großes Interesse.

Jeder weitere Gedankengang dazu ist willkommen - bin auch noch stark dabei, das zu verstehen und zu konsolidieren. Ja korrekt - den Ausschluss lokaler Minima zu zeigen, wäre klasse.

31.08.2021, 13:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Eldar
den Ausschluss lokaler Minima zu zeigen, wäre klasse.

Ist wie gesagt auch nicht viel schwerer: Das genannte $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ liegt auf Strecke $\begin{eqnarray*} PB \end{eqnarray*}$ , es ist somit $\begin{eqnarray*} |PB| = |PP'|+|P'B| \end{eqnarray*}$ , es folgt gemäß Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} |AP| + 2|BP| + |CP| = (|AP| + |PP'|) + 2|BP'| + (|CP| + |PP'|) \geq |AP'| + 2|BP'| + |CP'| \end{eqnarray*}$

mit Gleichheit dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} A,P,P' \end{eqnarray*}$ in der Reihenfolge auf einer Geraden liegen (gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegt auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ) und analog auch $\begin{eqnarray*} C,P,P' \end{eqnarray*}$ auf einer Geraden liegen (gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegt auf $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ ). Gleichheit ist somit nur für $\begin{eqnarray*} P=B \end{eqnarray*}$ möglich, was wir hier ausgeschlossen hatten. Somit ist $\begin{eqnarray*} |AP| + 2|BP| + |CP| > |AP'| + 2|BP'| + |CP'| \end{eqnarray*}$ der gewünschte Widerspruch zur lokalen Minimumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Eldar
Ist der obige Input zum Weber-Problem und zu den trifokalen Ellipsen richtig?

Sorry, ich hatte jetzt nicht vor, mich da rein zu vertiefen. Wenn du das darüber tun willst, bitte - sieh meine Beweisskizze als elementare Alternative an. Augenzwinkern

31.08.2021, 13:20

Eldar

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Super Danke - das ist alles sehr sinnvoller Input und hilft mir massiv weiter.

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