Operationen mit Mengen, deren Elemente Mengen sind

02.09.2021, 11:45	badelatsche	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationen mit Mengen, deren Elemente Mengen sind Ich habe folgende Aufgaben bekommen mit der Musterlösung: 1.) $\begin{eqnarray} \mathcal{P} (\{ \emptyset , \{ \emptyset \}\}) := \{ \emptyset , \{ \emptyset \}\} \end{eqnarray}$ Kann ich nun die Elemente der Menge in der Aufgabe auch auf lösen? Das heißt die Menge mit den Elementen Leere Menge und die Menge die wiederum keine Elemente besitzt, auflösen zu einer Leeren Menge? Also $\begin{eqnarray} \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} = \{ \emptyset \} \end{eqnarray}$ Damit wäre die Potenzmenge der Aufgabe aber $\begin{eqnarray} \mathcal{P} (\{ \emptyset , \{ \emptyset \}\}) := \{ \emptyset \} \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \mathcal{P} (\{ 1,2 \}) \triangle \{2,3\}:= \mathcal{P} (\{ 1,2 \}) \cup \{2,3\} \end{eqnarray}$ Nach meinem Gedankengang wäre die Lösung $\begin{eqnarray} \mathcal{P} (\{ 1,2 \}) \triangle \{2,3\}:= \{\emptyset, \{1\} , \{ 2\}, \{ 1,2 \}\}\triangle \{2,3\}= \{\emptyset, \{1\} , \{ 2\}, \{ 1,2 \}, \{2,3\} \} \end{eqnarray}$ Richtig? Oder kann / muss man die Elemente der Menge weiter auflösen? $\begin{eqnarray} \mathcal{P} (\{ 1,2 \}) \triangle \{2,3\}:= \{\emptyset, \{1\} , \{ 2\}, \{ 1,2 \}\}\triangle \{2,3\}= \{ 1,2 \} \triangle \{2,3\} = \{1,3\} \end{eqnarray}$ Bitte begründe deine Antwort, das ich nicht nur lernen sondern auch verstehen möchte. Vielen Dank für eure Hilfe.
02.09.2021, 22:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Hat eine Menge 2 Elemente, $\begin{eqnarray} M=\{a, b\} \end{eqnarray}$ , dann hat die Potenzmenge 4 Elemente, $\begin{eqnarray} P=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \end{eqnarray}$ . Das gilt auch hier, deshalb ist die Musterloesung ebenso falsch wie deine Auflösung. 2.) Die ersten 4 Elemente der symmetrischen Mengendifferenz sind offensichtlich richtig, aber dazu kommen die beiden Elemente 2 und 3, nicht die Menge {2,3}. Merke: $\begin{eqnarray} a\ne \{a\} \ne \{\{a\} \} \end{eqnarray}$

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