Wegintegral mit 1-Formen

02.09.2021, 18:41	björk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral mit 1-Formen Hallo liebes Forum, ich bin kurz davor eine mündliche Prüfung in Geometrischer Analysis zu machen. Komm im großen und ganzen auch echt gut mit dem Stoff zu recht. Ist ja auch sehr anschaulich meist. Probleme habe ich allerdings mit dem pullback von Differentialformen. Ich hab noch nie wirklich mit dualen Operatoren gearbeitet... Deshalb hab ich mir das heute nochmal was genau angeschaut, zumal mit dem pullback ja auch die Substitutionsregel über 1-Formen geschrieben wird und Wegintegrale definiert werden. Ich hab dazu den Analysis II von Amann und Escher benutzt. Ich bin heute schon um einiges weiter gekommen, aber hock seit einer Stunde an einer Stelle wo ich irgendwas überseh. Es geht um Beispiel VIII.3.14 im Amann/Escher. Hier ist X offen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , Y offen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \varphi\in C^q(X,Y) \end{eqnarray}$ und es heißt erst (in (b)), dass für 1-Form $\begin{eqnarray} \alpha=\sum_{j=1}^m a_j dy^j \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \varphi^\alpha=\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n(a_j\circ\varphi)\partial_k\varphi^j dx^k \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \varphi^j \end{eqnarray}$ ist hierbei die j-te Koordinatenfunktion von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Das konnte ich noch nachvollziehen, folgt relativ direkt aus der Linearität vom pullback und das $\begin{eqnarray} \varphi^(a_jdx^j)=(\varphi^a_j)(\varphi^dx^j) \end{eqnarray}$ gilt. Direkt darunter, (in (c)), wird ein Spezialfall betrachtet. X ist hier offen in den reellen Zahlen, der Rest wie gehabt. Dann gilt wohl für $\begin{eqnarray} t\in X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi^\alpha(t)=\langle\alpha(\varphi(t)),\dot\varphi(t)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ Die spitzen Klammern stellen hier die Dualitätspaarung da. Rechts ist also ein Vektor und links ein Kovektor aus dem Dualraum und letztendlich ist das einfach nur die Auswertung was passiert, wenn ich den Kovektor auf den Vektor loslasse. Begründet wird das wie gesagt nur mit "Spezialfall von (b)", also dem drüber. Ich seh das nur nicht: Im vergleich zu oben, fällt die zweite Summe weg, die geht nur von 1 bis 1, und $\begin{eqnarray} \partial_k \varphi^j (t) \end{eqnarray}$ kann ich jetzt als $\begin{eqnarray} \dot\varphi^j(t) \end{eqnarray}$ schreiben, also haben wir mMn nach da stehen $\begin{eqnarray} \varphi^\alpha(t)=\sum_{j=1}^m (a_j(\varphi(t))(\dot\varphi^j(t))dt \end{eqnarray}$ Warum soll sich das jetzt irgendwie zu $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ vereinfachen? Dafür brauche ich doch sowas wie $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^m a_j(\varphi(t))dy^j \end{eqnarray}$ . Wäre cool, wenn mir jemand die Augen öffnen wird. Das is ja nicht irgend so nen Beispiel sondern, wie gesagt, die Definieren das Wegintegral mit dieser Gleichheit. Danke und Grüße
02.09.2021, 18:53	björk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich glaub ich habs... Was wäre denn, wenn ich $\begin{eqnarray} \alpha(\varphi(t)) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \dot\varphi(t) \end{eqnarray}$ loslasse? Naja, ich multiplizier $\begin{eqnarray} a_j(\varphi(t)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \dot\varphi(t)^j \end{eqnarray}$ und addiers dann zusammen. Die $\begin{eqnarray} dy^j \end{eqnarray}$ sind ja nur die Basisvektoren vom Kotangetialraum.... Stimmts?

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