Glatte Funktion, Differenzierbarkeit

03.09.2021, 10:46	Kurven_sind_schön	Auf diesen Beitrag antworten »
Glatte Funktion, Differenzierbarkeit Meine Frage: Hallo Ich habe eine Frage bezüglich dieser Definition: $\begin{eqnarray} \text{Eine Abbildung} \quad \gamma:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n \quad \text{heisst glatt, falls} \quad\gamma_i \in C^\infty(\mathbb{R}) \\ \text{fuer alle} \quad i=1 \dots n \end{eqnarray}$ Was bedeutet dort $\begin{eqnarray} C^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ? Ist das der Raum der unendlich stetig differenzierbaren Funktionen? Ist ein Polynom: z.B $\begin{eqnarray} x(t)=a_0+a_1t+a_2t^2 \end{eqnarray}$ stetig unendlich oft stetig differenzierbar? Denn die erste Ableitung ist ja: $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}=2a_2t+a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^2x}{dt^2}=2a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^3x}{dt^3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^kx}{dt^k}=0 \end{eqnarray}$ für alle k >=3 Dort verschwindet ja die Ableitung. Meine Ideen: Ich denke, dass das Symbol unendlich oft stetig differenzierbar bedeutet, was aber nicht genau was das heißt. Vielleicht könnte jemand leicht verständliche Beispiele geben? Das wäre sehr nett danke
03.09.2021, 11:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{align} C^{\infty}(\mathbb{R}) \end{align}$ bedeutet unendlich oft differenzierbar über $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ . Der Zusatz "stetig" ist überflüssig, denn wenn alle Ableitungen differenzierbar sind, dann sind auch alle Ableitungen stetig. Man könnte das auch kürzer schreiben: $\begin{align} \gamma \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \end{align}$ , denn die simultane Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen ist gleichwertig mit der Differenzierbarkeit des Vektors aus diesen Komponenten. Warum das so kompliziert formuliert ist, weiß ich nicht. Vielleicht liegt es daran, daß dir ein mehrdimensionaler Differenzierbarkeitsbegriff noch nicht zur Verfügung steht. Ein Polynom ist von der Klasse $\begin{align} C^{\infty} \end{align}$ . Daß das irgendwann mal zur 0 herunterdifferenziert ist, spricht nicht dagegen, sondern dafür, denn die Nullfunktion ist so glatt, daß es glatter nicht mehr geht. Die ist ja sogar vollständig eben. Hier ein Beispiel für eine glatte Kurve $\begin{align} \gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 \, , \ \ t \mapsto \begin{pmatrix} 2 \cos(t) \\ \sin(t) \\ t^2 \end{pmatrix} \end{align}$ Das gibt so eine Art Spirale, die sich nach oben (unten) hin immer weiter dehnt. Alle drei Komponentenfunktionen sind unendlich oft differenzierbar. Die ersten beiden Komponentenfunktionen sind bei keiner Ableitung höheren Grades konstant 0, die dritte Komponentenfunktion ist ab der dritten Ableitung konstant 0. Aber wie schon gesagt, das stört nicht.
03.09.2021, 15:35	Kurven_sind_schön	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

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