Rechteck nach Quadrat über Tangenten-Sekanten-Satz

03.09.2021, 14:46

MMchen60

Rechteck nach Quadrat über Tangenten-Sekanten-Satz

Hallo liebe Forumsgemeinde, ich hänge gerade an einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal.
Die Aufgabe: wandle eine Rechteck mit den Kantenlängen 6 cm und 2 cm in ein flächengleiches Quadrat über dem Tangenten-Sekantensatz.
Ich weiß zwar, dass $\begin{eqnarray*} \overline{PG_1} \cdot \overline {PG_2} = \overline {PT}^2 \end{eqnarray*}$ und dass der Winkel $\begin{eqnarray*} G_1G_2T \end{eqnarray*}$ gleich dem Winkel $\begin{eqnarray*} G_1PT \end{eqnarray*}$ sein muss (siehe Skizze), aber wie konstruieren, wenn ich weder den Kreisradius noch den Winkel kenne und die Strecke PT sich durch die Konstruktion ergeben soll?

https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Sekanten_tangenten.svg

Vielen Dank für Antworten.
MMchen

03.09.2021, 14:55

HAL 9000

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Wähle doch einfach $\begin{eqnarray*} G_1G_2 \end{eqnarray*}$ als Kreisdurchmesser und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann auf der Strahl-Verlängerung dieses Durchmessers über $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ hinaus mit $\begin{eqnarray*} |PG_1|=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |PG_2|=2 \end{eqnarray*}$ (alle Längenangaben in cm).

In diesem Szenario ist logischerweise $\begin{eqnarray*} |G_1G_2|=6-2 = 4 \end{eqnarray*}$ . Tja, und dann die Tangente von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ an diesen Kreis mit Durchmesser $\begin{eqnarray*} G_1G_2 \end{eqnarray*}$ konstruieren - das weißt du ja hoffentlich, wie man das macht, oder?

03.09.2021, 15:49

MMchen60

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Danke für die prompte Rückantwort. Ja, Tangentenkonstruktion weiß ich wie. Aber, wie kommt man ausgerechnet auf den Radius G_1G_2 = 4 cm für den Kreis? Warum ist der 6-2?
Danke

03.09.2021, 15:58

HAL 9000

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Kannst du dir unter der Beschreibung

Zitat:

Original von HAL 9000
Wähle doch einfach $\begin{eqnarray*} G_1G_2 \end{eqnarray*}$ als Kreisdurchmesser und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann auf der Strahl-Verlängerung dieses Durchmessers über $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ hinaus

denn so gar nichts vorstellen? unglücklich

Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} G_1,G_2,P \end{eqnarray*}$ sollen in dieser Beispielkonstruktion auf einer Geraden liegen, und zwar in genau dieser Reihenfolge. Und in dieser Konstellation ergibt sich nun mal $\begin{eqnarray*} |G_1G_2| \end{eqnarray*}$ als Differenz der beiden Strecken $\begin{eqnarray*} |PG_1| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |PG_2| \end{eqnarray*}$ . Muss ich wirklich für diesen trivialen Fakt noch eine Skizze machen?

03.09.2021, 16:08

MMchen60

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Hallo Hal9000,
sorry, klar ich habs. Nochmal vielen Dank.
MMchen

03.09.2021, 20:15

rumar

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Das Interessante am Sehnen-Tangenten-Satz ist, dass diese Beziehung unabhängig von der Größe des für die Konstruktion benützten Kreises ist.
Hat man also die Punkte P , $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ auf der Sekantengerade eingezeichnet, kann man als Kreismittelpunkt einen beliebigen auf der Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray*} G_1G_2 \end{eqnarray*}$ liegenden Punkt wählen.
Der Kreisradius muss also nur mindestens halb so lang wie die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{G_1G_2} \end{eqnarray*}$ sein, ist dann aber frei wählbar.

03.09.2021, 21:06

Leopold

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Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid nach den Vorschlägen von HAL und rumar.

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