Vektor mal Skalar von rechts?

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mickymaus Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor mal Skalar von rechts?
Meine Frage:
Hallo, ich habe vllt. eine etwas komische Frage:

Wenn wir eine Zahl mal einem Vektor nehmen, dann gilt ja

.

Gilt das ganze auch von rechts, also

.
Ich weiß die Frage ist vllt. komisch, aber bin mir da echt nicht sicher.



Meine Ideen:
Ich denke das geht, aber keine Ahnung.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen zum Beispiel ist es dem Vektorraum egal, ob man skalar von rechts oder links multipliziert. Das sind nur zwei verschiedene Schreibweisen für die selbe Sache.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so selbstverständlich? Man könnte sich vorstellen, auf einer additiven abelschen Gruppe zwei verschiedene skalare Multiplikationen zu definieren, eine von links, eine von rechts. Spontan habe ich mir das folgende Beispiel überlegt.

Wir nehmen den Körper der komplexen Zahlen in klassischer Notation. Seine additive Gruppe machen wir zu einem Links-Vektorraum über , indem wir folgendermaßen eine skalare Multiplikation definieren:



Die Überstreichung steht für die komplexe Konjugation, der Malpunkt für die Körpermultiplikation von . Damit sollte sich ein Vektorraum ergeben.

Und jetzt definieren wir auch eine skalare Multiplikation von rechts. Wir bezeichnen sie ebenfalls mit . Die Unterscheidung von der Linksmultiplikation erkennt man also an der Stellung der Skalare:



In der Struktur finden wir also einen Links- und einen Rechts-Vektorraum wieder. Die skalaren Multiplikationen stimmen nicht überein. Im allgemeinen gilt:



EDIT
Das Beispiel ist etwas problematisch, denn man erkennt hier nur am Bezeichnertyp (lateinischer beziehungsweise griechischer Buchstabe), was gemeint ist. Sobald man konkret wird, wird es mehrdeutig. Was ist mit gemeint? Man müßte daher doch die Operationen selbst in der Bezeichnung unterscheiden.
Man könnte jedoch Entsprechendes mit über machen. Dann dürfte es funktionieren.


Das Beispiel sollte sich auf beliebige Körper übertragen lassen. Ist ein Körper und ein Automorphismus von , so mache man die additive Gruppe durch



zu einem Vektorraum.

Meiner Ansicht nach ist es nicht selbstverständlich, daß man in einem Vektorraum Skalare nach Belieben links oder rechts schreiben kann. Es ist lediglich eine sinnvolle Konvention, solange nicht mehrere skalare Multiplikationen definiert sind.


@ mickymaus

Laß dich nicht von meinen Ergüssen hier irritieren. Das ist was für abgehobene Spezialisten. In deinem Fall könnte man die Skalare auch rechts neben den Spaltenvektor schreiben. Es ist allerdings nicht üblich, es zu tun.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Auch auf die Gefahr, dass die Diskussion abdriftet habe ich eine naive Frage:

Wenn man ein Skalar als eine 1x1-Matrix sieht, dann wäre die Multiplikation von links wohldefiniert. Von rechts allerdings nicht.

Ist das irgendwo ein Widerspruch? Oder ist die Ansicht "Skalar = 1x1-Matrix" falsch?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das so: Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ist eine eigenständige Operation. Nur in Sonderfällen entspricht sie der Multiplikation einer Matrix mit einer 1×1-Matrix. Bei der Matrizenmultiplikation muß die Spaltenzahl des linken Faktors mit der Zeilenzahl des rechten Faktors übereinstimmen. Daher kann man eine 1×1-Matrix links an eine 1×n-Matrix, also einen Zeilenvektor, heranmultiplizieren und rechts an eine m×1-Matrix, also einen Spaltenvektor.

Was man natürlich immer machen kann, ist, eine m×n-Matrix von links mit einer m×m-Diagonalmatrix aus lauter gleichen Diagonalelementen zu multiplizieren. Das entspricht der Multiplikation der Matrix mit dem Skalar . Es geht auch von rechts mit einer entsprechenden n×n-Diagonalmatrix. Die oben beschriebenen Sonderfälle sind hierin enthalten.

Sobald in einer korrekt aufgebauten Matrixmultiplikationsrechnung eine 1×1-Matrix entsteht, kann man die Multiplikation mit dieser Matrix wie die Multiplikation mit einem Skalar auffassen. Das habe ich im ersten Absatz beschrieben.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein erhält man über den beiden Ringen der quadratische Matrizen der jeweiligen Dimensionen einen Bimodul.
 
 
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ist das so selbstverständlich? Man könnte sich vorstellen, auf einer additiven abelschen Gruppe zwei verschiedene skalare Multiplikationen zu definieren, eine von links, eine von rechts.


Ist bei gegebenem Vektorraum nicht genau eine Skalarmultiplikation definiert, das ist dochTeil der Definition eines Vektorraums?

Da dann die Skalarmultiplikation im zugrundeliegenden Körper erfolgt, dort Multiplikation kommutativ ist, sehe ich es so wie Elvis, links- und rechtsmultiplikation sind identisch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Da dann die Skalarmultiplikation im zugrundeliegenden Körper erfolgt, dort Multiplikation kommutativ ist, sehe ich es so wie Elvis, links- und rechtsmultiplikation sind identisch.


Das ist richtig. Aber das Beispiel aus meinem ersten Beitrag zeigt, daß es nicht bewiesen werden kann, daß man einen Skalar gleichwertig links oder rechts vom Vektor anbringen kann, sondern daß das lediglich eine Konvention ist. Übrigens schreibe ich selbst Skalare nicht rechts. Ausnahmen bestätigen die Regel und haben immer einen konkreten Grund. (Ich könnte es mir übrigens viel einfacher machen: Wenn in der Definition der skalaren Multiplikation die Skalare links geschrieben werden, dann ist die skalare Multiplikation von rechts schlicht nicht definiert.)

Zitat:
Original von Luftikus
Da dann die Skalarmultiplikation im zugrundeliegenden Körper erfolgt, dort Multiplikation kommutativ ist, sehe ich es so wie Elvis, links- und rechtsmultiplikation sind identisch.


Das ist im allgemeinen nicht richtig. Du hast hier das konkrete Beispiel mit der komponentenweise definierten skalaren Multiplikation im Kopf. Daß das nicht so zu sein braucht, zeigt mein Beispiel. Nochmal konkret für den ausgesprochen: Für und definiere ich:



Sowohl als auch ist ein Vektorraum, aber die Stellung der Skalare ist entscheidend:



Solange man nur eine skalare Multiplikation hat, kann man natürlich vereinbaren, daß es einem egal ist, ob der Skalar links oder rechts hingeschrieben wird. Aber - ich wiederhole mich - es ist nur eine Konvention.
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