Leere Menge

05.09.2021, 07:29

Vaccum21

Leere Menge

Meine Frage:
Wie könnte man "anschaulich" erklären, dass die leere Menge Teilmenge
jeder Menge ist?

Meine Ideen:
keine

05.09.2021, 09:33

Huggy

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RE: leere Menge
Das ist eher eine Frage des logischen Denkens als der Anschauung. Eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist gemäß Definition genau dann eine Teilmenge einer Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , wenn alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch Elemente von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind. Die leere Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ hat gemäß Definition keine Elemente. Also sind alle Elemente von $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ (es gibt ja keine) auch Elemente einer beliebigen Menge. Damit ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ Teilmenge jeder beliebigen Menge.

05.09.2021, 11:16

Vaccum21

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RE: leere Menge
Danke für deine Antwort.

Zitat:

Also sind alle Elemente von ∅ (es gibt ja keine) auch Elemente einer beliebigen Menge

Diese Folgerung verstehe ich nicht ganz.
Warum sind "keine Elemente" Elemente jeder Menge? Was nicht existiert, kann nicht zu etwas gehören.
Wo ist mein Denkfehler? verwirrt

05.09.2021, 11:45

Elvis

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Logisch äquivalente Umformung der Aussage: Jedes Element der leeren Menge liegt in jeder Menge M, weil kein Element der leeren Menge nicht in einer Menge M liegt.

05.09.2021, 12:39

Huggy

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RE: leere Menge

Zitat:

Original von Vaccum21
Warum sind "keine Elemente" Elemente jeder Menge? Was nicht existiert, kann nicht zu etwas gehören.

So habe ich das nicht geschrieben. Lies noch mal genau meine Sätze.

Wenn jemand sagt, alle Kugeln in dieser Urne sind grün, geht der Normalbürger oft davon aus, dass in der Urne auch Kugeln sind und dass diese Kugeln grün sind. Aber die Aussage ist auch richtig, wenn in der Urne überhaupt keine Kugeln sind. So fassen Marhematiker und Logiker den Begriff alle auf. Es gibt ja keine einzige Kugel in der Urne, die eine andere Farbe als grün hat. Nach dem gleichen Verständnis von alle sind alle Elemente der leeren Menge grün. Und nach dem gleichen Verständnis von alle sind alle Elemente der leeren Menge Elemente jeder anderen Menge. An diesen Sprachgebrauch von alle musst du dich gewöhnen.

05.09.2021, 13:29

Vaccum21

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RE: leere Menge
Danke für die Antworten.
Leider kann ich nur ahnen, was ihr meint.

Zitat:

Aber die Aussage ist auch richtig, wenn in der Urne überhaupt keine Kugeln sind. So fassen Marhematiker und Logiker den Begriff alle auf. Es gibt ja keine einzige Kugel in der Urne, die eine andere Farbe als grün hat. Nach dem gleichen Verständnis von alle sind alle Elemente der leeren Menge grün.

Hier sagt er normale Menschenverstand: Das ist verrückt!
Wie kann man behaupten,, dass etwas Grün ist, das gar nicht vorhanden ist?
Diese Analogie kann ich nicht nachvollziehen. Sorry. verwirrt

Warum genau ist diese Aussage richtig? Sie ist doch sinnfrei bzw. absurd.
Vlt. könntest du mir diesen Begriffe von ALLE noch anders erklären.

05.09.2021, 14:15

Elvis

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Das ist nicht verrückt sondern völlig normal. In der leeren Menge findest du kein Element, dass nicht grün ist, also sind alle Elemente der leeren Menge grün. Kurz gesagt: nichts ist nicht grün, also ist alles grün.
Nichtexistente Objekte haben alle Eigenschaften. Der Theologe sagt sogar, dass nichtexistente Götter alle Eigenschaften im besonderen Maße haben. "Gott ist allmächtig, allwissend, allgütig, ..."

05.09.2021, 14:31

Vaccum21

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Wenn man so argumentiert, verstehe ich das. Nichts ist nicht = alles ist
Guter Vergleich mit der Theologie, die sogar weiß, was Gott nicht ist (theologia negativa). Freude

Nur woher wissen sie das, wenn sie behaupten Gott sei totaliter aliter?
Das wird wohl immer ihr Geheimnis bleiben, so wie Gott ein "unfassbares Geheimnis ist" (Rahner).
Mit solchen Leerformeln sind sie immer aus dem Schneider. Denn über Geheimnisse kann man nur
spekulieren, bis sie gelüftet werden,was in diesem Fall nur der Betroffene selbst könnte, sofern
existent und willens dazu.

06.09.2021, 00:54

zweiundvierzig

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Die Teilmengenrelation ist definiert durch:
$\begin{eqnarray*} x \subseteq y :\leftrightarrow (\forall z.(z \in x \rightarrow z \in y)) \end{eqnarray*}$
Da nach Definition $\begin{eqnarray*} \forall z.\lnot z \in \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Edit: Im Rahmen von Beweisinterpretationen gibt es auch folgende Perspektive. Ein Beweis für $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ ist ein Programm, dass aus einem Beweis für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einen Beweis für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ konstruiert.

Für das Falsum $\begin{eqnarray*} \bot \end{eqnarray*}$ gibt es keinen Beweis. Darum stellt für beliebiges $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ jedes Programm einen Beweis für $\begin{eqnarray*} \bot \to A \end{eqnarray*}$ dar.

Zur historischen Diskussion siehe: van Dalen: Kolmogorov and Brouwer on constructive implication and the Ex Falso rule. Russian Math Surveys, 2004

06.09.2021, 15:38

Luftikus

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RE: leere Menge

Zitat:

Original von Huggy
Das ist eher eine Frage des logischen Denkens als der Anschauung. Eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist gemäß Definition genau dann eine Teilmenge einer Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , wenn alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch Elemente von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind. Die leere Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ hat gemäß Definition keine Elemente. Also sind alle Elemente von $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ (es gibt ja keine) auch Elemente einer beliebigen Menge. Damit ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ Teilmenge jeder beliebigen Menge.

Man könnte doch auch die Kontraposition betrachten:

Jedes Element das nicht in B ist, ist auch nicht A. Da in diesem Falle A die leere Menge wäre, gelte dies immer.

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