Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen

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Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen
Aus dieser sehr guten Lernhilfe bearbeite ich gerade eine Aufgabe, wozu im Buch keine Lösung angegeben ist.

Meine Frage:
Sei . Betrachten Sie die Summe der ersten ungeraden Zahlen, das heißt die Summe

1+3+5+. . . + (2n-1).

Berechnen Sie die Summe für einige natürliche Zahlen .

Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese.

Mein Ansatz:
Nach Berechnung einiger Beispiele bin ich zur Vermutung gekommen, die Summe sei .

Ich berechne die Summe der ersten (2n-1) natürlichen Zahlen mit der Summenformel des kleinen Gauss .
Dann fische ich alle geraden Zahlen heraus, summiere sie und ziehe sie von der vorigen Summe ab.







Ist das korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, so kann man vorgehen. Dieselbe Technik findet bisweilen auch Anwendung bei der Berechnung von Reihenwerten aus bereits bekannten Werten verwandter Reihen:

Zitat:
Sei bekannt. Gesucht: .

Lösung: Mit gilt offenbar (beide Teilreihen rechts sind konvergent!), und wegen folgt dann einfach

.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe vergessen, etwas anzuführen, was mir noch wichtig erscheint.

- Die natürlichen Zahlen folgen ja - beginnend mit 1 - dem Muster: ungerade gerade

- Die Anzahl der Elemente in meiner Folge der ersten natürlichen Zahlen ist 2n-1. Daraus folgt: die Anzahl der ungeraden Elemente ist n, die Anzahl der geraden Elemente ist n-1.

Danke vielmals !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage spornt mich zu Höchstleistungen an.


Alternative 1

Man erhöht jede ungerade Zahl um 1 und zieht die Inkremente wieder ab:




Alternative 2 (versteckte Induktion)

Man erkennt und rechnet:




Alternative 3 (L'Hospital)

Und hier noch der kürzeste, effektivste und - man kann es nicht anders sagen - schönste Weg zur Formel.

Wir betrachten die reelle Funktion



und haben zu bestimmen. Mit der Formel für die geometrische Reihe folgt:



In der folgenden Rechnung wird von der ersten zur zweiten und der zweiten zur dritten Zeile L'Hospital verwendet:









Na, wen das nicht überzeugt ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Noch Ferien, oder doch schon Pensionär-Langeweile? Big Laugh
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Danke auch Dir für weitere Ansätze. Alternative 1 und 2 sind klar, L'Hospital muss ich mir erst beibringen (wie ? geschockt . . . ).

Wahrscheinlich wegen der mehrfachen Möglichkeit der Lösung ist im Buch dazu nichts gesagt, zudem liegt der Schwerpunkt ja darauf, an das Beweisen heranzuführen.
So wie ich das bisher Gelesene verstanden habe, ist ein Beweis die klare und verständliche Darstellung einer mathematischen Frage samt lückenloser Darstellung der logischen Zusammenhänge der Lösung derselben. Im Moment würde ich die Antwort zu dieser Aufgabe so skizzieren:

() Das Schema der Folge "1+3+5+...(2n-1)" ist ungerade gerade ungerade gerade . . . ungerade

() Da sowohl erstes als auch letztes Element ungerade sind, ist die Anzahl der ungeraden Zahlen um 1 größer als die der geraden.
Das bedeutet: n = Anzahl ungerade Z; (n-1) = Anzahl gerade Z.

() Summenformel von Gauss darf vorausgesetzt werden.

() Dann mein Ansatz aus meinem ersten Post.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
@Leopold
... L'Hospital muss ich mir erst beibringen (wie ? geschockt . . . ).


Ich dachte, ich hätte so dick aufgetragen, daß die Nichternsthaftigkeit des dritten Vorschlags klar zum Vorschein kommt. Aber Internet und Ironie ist so eine Sache.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Geometrisch:

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Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön!

Und garantiert ironiefrei. smile
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