Schwache Ableitung bestimmen

06.09.2021, 14:50

Matherialist

Schwache Ableitung bestimmen

Meine Frage:
Guten Tag,
Ich habe folgendes Problem. Ich will die Schwache Ableitung der folgenden Funktion bilden:
$\begin{eqnarray*} -u''+u=sin(x9+sin(2x)+sin(3x)\ in\ (0,\pi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(0)=u(\pi)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kenne es, dass ich die funktion mit $\begin{eqnarray*} v \in H^{1}_{0}(\Omega) (\Omega=(0,\pi)) \end{eqnarray*}$
somit erhalte ich $\begin{eqnarray*} a(u,v)=F(v) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} F(v)=\int_{\Omega} \! sin(x)+sin(2x)+sin(3x) \, dx \end{eqnarray*}$
Für a(u,v) habe ich die eine Seite partiell Integriert und den anderen Teil so belassen im Integral, so dass ich
$\begin{eqnarray*} a(u,v)=-[u''v']_{0}^{\pi}+\int_{\Omega} \! u'v' \, dx +\int_{\Omega} \! uv \, dx \end{eqnarray*}$ habe.
In der Musterlösung ist jedoch
$\begin{eqnarray*} a(u,v)=\int_{\Omega} \! u'v' \, dx +\int_{\Omega} \! uv \, dx \end{eqnarray*}$

Was ist mit dem ersten Teil passiert, welches ich durch Partielle Intergration eigentlich haben sollte?

Vielen Dank um Voraus

P.S.: Leider kann ich in der Vorschau keine LaTex Formeln sehen. Ich hoffe diese werden korrekt abgebildet.

06.09.2021, 15:25

IfindU

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RE: Schwache Ableitung bestimmen
Etwas hand-waving: Da $\begin{eqnarray*} -u''+u=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)\ in\ (0,\pi) \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} -u''=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x) - u\ in\ (0,\pi) \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} -[u''v']_{0}^{\pi} = \left[\left(\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x) - u\right)v'\right]_{0}^{\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ .

06.09.2021, 16:23

Matherialist

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RE: Schwache Ableitung bestimmen
Ich sehe gerade, dass meine Parti. Integration falsch ist.
Der vordere Teil müsste $\begin{eqnarray*} [u'v]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$
Wieso kürzt sich dies weg? Sind Funktionen im Hilbertraum immer am Rand = 0? Oder ist da wieder ein Trick dahinter?

06.09.2021, 18:20

Elvis

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Was ist Matherialismus ? Ist das der Glaube an Mathematik ? Was ist Mathematik ? Existiert Mathematik ? Wenn ja, wo ? Augenzwinkern

06.09.2021, 20:40

IfindU

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RE: Schwache Ableitung bestimmen

Zitat:

Original von Matherialist
Der vordere Teil müsste $\begin{eqnarray*} [u'v]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

Das gilt, weil $\begin{eqnarray*} v \in H^1_0 \end{eqnarray*}$ ist und damit die Randterme verschwinden. Wenigstens formal. Genauer wäre es, wenn man $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (v_k) \in C^\infty_c \end{eqnarray*}$ approximiert. Nach Spursatz müsste der Term dann konvergieren.

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