Maximum Likelihood

07.09.2021, 19:54

MrBoogey

Maximum Likelihood

Hey Leute auch wennihr genervt seit .
Möchte ich mich nochmal an eine weitere Aufgabe wagen mit diesem Thema.

Big Laugh

Man merkt ja an der Zahlenfolge das sie jeweils um 3 erhöht wird ?

Ich habe mal eine Idee gepostet wie die Funktion etwa aussehen könnte ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+3}n+1 \end{eqnarray*}$

07.09.2021, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von MrBoogey
Man merkt ja an der Zahlenfolge das sie jeweils um 3 erhöht wird ?

Mal abgesehen davon, dass das nicht stimmt:

Die Aufgabe hier lautet nicht "Finden Sie ein Bildungsgesetz für die Zahlenfolge", sondern "Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für die Parameter $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ der Rechteck-Verteilung".

07.09.2021, 21:16

MrBoogey

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Stimmt merke auch gerade das es nicht jedes mal um 3 erhöht wird Big Laugh

Aber wie soll ich jetzt auf den Schätzer so ohne weiteres kommen ?

Die Likelihood Funktion ist ja nach Anhang definiert

07.09.2021, 21:50

RomanGa

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Deine Aufgabe gehört meines Erachtens in die Gruppe Stochastik, und nicht zur Analysis.

08.09.2021, 08:06

Huggy

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Zitat:

Original von MrBoogey
Aber wie soll ich jetzt auf den Schtzer so ohne weiteres kommen ?

Die Likelihood Funktion ist ja nach Anhang definiert

[attach]53586[/attach]

In welchem Anhang soll das sein? In obiger Rechteckverteilung kommen keine Parameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ vor, sondern $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Da sollte also stehen

$\begin{eqnarray*} L_x(a,b)=\prod_{k=1}^n f_{a,b}(x_k) \end{eqnarray*}$

Wie lautet nun $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x_k) \end{eqnarray*}$ für die Rechteckverteilung? Wenn du das weißt, kannst du den ML-Schätzer für $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ohne Rechnung mit GMV (gesunder Menschenverstand) bestimmen.

08.09.2021, 10:45

MrBoogey

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$\begin{eqnarray*} L_x(a,b)=\prod_{k=1}^n \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$

Ist die Rechteckverteilung 1/b-a ?

Für b = 10 eingesetzt und a = 1?

08.09.2021, 11:21

Huggy

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Zitat:

Original von MrBoogey
$\begin{eqnarray*} L_x(a,b)=\prod_{k=1}^n \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$

Ja, aber nur, wenn alle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ liegen.

Zitat:

Ist die Rechteckverteilung 1/b-a ?

Das solltest du sorgfältiger und ausführlicher notieren. Die Dichte $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x) \end{eqnarray*}$ der Rechteckverteilung für das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x)= \frac 1 {b-a} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Zitat:

Für b = 10 eingesetzt und a = 1?

Ja. Der ML-Schätzer für $\begin{eqnarray*} \theta=(a,b) \end{eqnarray*}$ muss alle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ einschließen, weil sonst mindestens einer der Faktoren in der Likelihood $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird und damit die gesamte Likelihood, was sicher kein Maximum ist. Wenn der Schätzer alle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ einschließt, muss man offensichtlich $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ möglichst klein machen, um die Likelihood möglichst groß zu machen. Das führt zu der von dir genannten Lösung.

08.09.2021, 11:50

MrBoogey

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Huggy kann ich dann sozusagen in einer Klausur dann so argumentieren wie du gerade und das wäre ausreichen?
Also aus deiner Sicht Big Laugh

08.09.2021, 12:39

Huggy

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Ja, das sollte ausreichen. Man könnte noch hinzufügen, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 {b-a} \end{eqnarray*}$ größer wird, wenn $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ kleiner wird, alles natürlich für $\begin{eqnarray*} b>a \end{eqnarray*}$ .

Es gibt auch keine richtige Alternative. Der Weg, $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \ln L \end{eqnarray*}$ nach den gesuchten Parametern abzuleiten und die Ableitung gleich Null zu setzen, um ein lokales Extremum von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ zu suchen, funktioniert ja nicht, weil ein Randextremum vorliegt.

08.09.2021, 13:00

HAL 9000

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Sorgsam aufgeschrieben lautet die Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} L_x(a,b) = \prod_{k=1}^n \left( \frac{1}{b-a}\cdot 1_{[a,b]}\left(x_k\right)\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{(b-a)^n}\cdot 1_{\left(-\infty,\min\limits_{k=1,\ldots,n} x_k\right]}(a) \cdot 1_{\left[\max\limits_{k=1,\ldots,n} x_k,\infty\right)}(b) \end{eqnarray*}$

welche überhaupt nur Nichtnullwerte hat, wenn $\begin{eqnarray*} a\leq \min\limits_{k=1,\ldots,n} x_k \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} b\geq \max\limits_{k=1,\ldots,n} x_k \end{eqnarray*}$ ist.

08.09.2021, 15:49

MrBoogey

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Danke

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