Irreduzibel |
| 09.09.2021, 14:07 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Irreduzibel Ich glaube, dass es nicht weiter zerlegbar ist. Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich zeigen kann, dass nicht weiter zerlegbar ist. Für Hinweise bin ich sehr dankbar. |
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| 09.09.2021, 14:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Überprüfe, ob die Diskriminante eine Quadratzahl ist. |
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| 09.09.2021, 15:28 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. Wie bringt mich das dann weiter? |
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| 09.09.2021, 15:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir die Lösungsformel (abc-Formel) für quadratische Gleichungen an. Was ist, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist? Was ist im andern Fall? |
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| 09.09.2021, 16:57 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Diskrimante habe ich auch ausgerechnet. Da habe ich -26935 raus. Aber der Zusammenhang erschließt sich mir jetzt noch nicht so. Wenn die Determinante eine Quadratzahl ist, dann ist das Polynom irreduzibel? |
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| 09.09.2021, 17:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest dich um die Definition der Irreduzibilität kümmern. Da scheint es mir bei dir im Argen zu liegen. Das Polynom hat den Grad 2. Wenn es daher über reduzibel ist, dann in zwei Faktoren vom Grad 1 mit rationalen Koeffizienten. Ein solches Polynom vom Grad 1 generiert aber eine rationale Nullstelle. Wenn daher das gegebene Polynom vom Grad 2 reduzibel ist, muß es rationale Nullstellen besitzen. Besitzt es daher umgekehrt keine rationalen Nullstellen, kann es auch nicht reduzibel sein. Dann ist es irreduzibel. Jeweils über . |
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| 09.09.2021, 17:35 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Einzige was mich gerade verwirrt ist der Hinweis mit der Diskriminante. Wir hatten dazu halt nichts in der Vorlesung und deswegen sehe ich da gerade keinen Zusammenhang. Beispielsweise das Polynom: x^2+3x+2. Dann kann ich da auch wieder die Diskriminante ausrechnen. In diesem Fall wäre sie dann 1. Das Polynom ist aber nicht irreduzibel, weil ich es schreiben kann als (x+1)(x+2). |
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| 09.09.2021, 17:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Die Diskriminante ist 1. Also sind die Nullstellen rational, hier sogar ganz (nämlich -1 und -2). Damit ist das Polynom reduzibel. Und wie wäre es bei ? |
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| 09.09.2021, 17:46 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber dann bin vorhin noch über ein anderes Beispiel gestoßen und zwar x^3-3x+1. Da ist die Diskriminante 81, also eine Quadratzahl und das Polynom ist aber wohl irreduzibel in Q[x]. |
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| 09.09.2021, 18:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist kein quadratisches Polynom. Hier gibt es keine Diskriminante, jedenfalls nicht im Sinne eines quadratischen Polynoms. |
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| 09.09.2021, 18:14 | GAST08 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso. Dann hat sich das geklärt, was ich nicht verstanden habe. Wie kann ich dann für Polynome höheren Grades zeigen, dass sie irreduzibel sind? |
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| 09.09.2021, 18:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da gibt es meines Wissens kein Rezept, das immer funktioniert. Bekannte Irreduzibilitätskriterien sind zum Beispiel das K riterium von Eisenstein oder die Reduktion des Polynoms modulo einer Primzahl und der Nachweis der Irreduzibilität des reduzierten Polynoms. Hier könnte man Eisenstein anwenden. Allerdings funktioniert es nicht direkt. Substituiert man aber das lineare Polynom , erhält man Und hier funktioniert jetzt Eisenstein mit . @ Moderator/Administrator/Kompetente Person Wieso wird beim Link ein Zeilenumbruch durchgeführt? |
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| 09.09.2021, 22:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das "wieso" kann ich auch nicht erklären, aber irgendwie verhaspelt sich die Board-Software bei sehr langen URL. Manchmal hilft das Einschieben eines Leerzeichens nach der Haupt-URL, d.h. vor dem #: Kriterium von Eisenstein |
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| 10.09.2021, 07:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ HAL Danke für den Hinweis. Den Leerzeichen-Trick muß ich mir merken. @ GAST08 Man hätte auch modulo 2 reduzieren können. Der natürliche Epimorphismus wird kanonisch auf die Polynomringe erweitert. Aus wird dann als Polynom über . Könnte man dieses Polynom in zwei nichttriviale Faktoren zerlegen, so müßte aus Gradgründen eines den Grad 1 besitzen. Mithin besäße das Polynom eine Nullstelle. Dieses Polynom dritten Grades besitzt aber keine Nullstellen (denn und ). Also ist es irreduzibel über . Damit ist auch irreduzibel über . |
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