Kommutativität und Assoziativität einer Menge

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ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität und Assoziativität einer Menge
Hallo Leute,

ich habe eine ganze Zahl und die Menge

Nun möchte ich Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation zweier Elemente aus nachweisen.
Klar, das könnte ich jetzt stur ausrechnen.
Aber wenn ich schon weiß, dass die Multiplikation dies in erfüllt, müsste ich mir diese Rechnung doch sparen können, oder?
Aber wie argumentiert man da korrekt? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität und Assoziativität einer Menge
Das geht hier nicht so leicht. Es ist als Menge.

Wenn die Multiplikation nun definiert, könnte man es argumentieren.

Hier ist aber . Und das ist nicht wirklich klar.

Was ich mir vorstellen kann: Definiere . Hier gilt und dort ist es die Standard-Multiplikation. D.h. hat die natürliche Addition/Multiplikation und damit Kommutativ/Assoziativ. Dann muss noch begründen warum ein wohldefinierter Homomorphismus ist.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IfindU,

danke für schnelle Antwort. Ich kann den Einwand auch voll und ganz nachvollziehen.
Ich dachte immer, das hätte ich im Studium mal unter dem Stichwort "Vererbung" so aufgeschnappt. Aber das war dann sicher ein anderes Thema oder eine saloppe Formulierung Big Laugh

Danke für die Klarstellung!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ichwarneu
Ich dachte immer, das hätte ich im Studium mal unter dem Stichwort "Vererbung" so aufgeschnappt.


Genau das habe ich genutzt. Bloss musste ich erst einmal eine abelsche Halbgruppe finden, welche
a) eine Obermenge für ist
b) es die gleiche Verknüpfung besitzt.

Dann vererben sich die Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität sofort auf zu . Als letzten Schritt muss man sich noch überlegen wie man es von auf übertragen hat.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr interessant. Google brachte mich zu "Genetische Algebra". Daher dachte ich, dass es nicht mit meiner Fragestellung zu tun hat.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann möchte ich meine Frage gerne noch einen Schritt erweitern.

Wenn ich bereits weiß, dass eine kommutative, multiplikative Gruppe ist, wie würde ich dann zeigen, dass dies ebenfalls ist?

Gut, .
Also existieren Neutrales und Inverse auch in M.
Abgeschlossenheit ist ebenfalls bereits gegeben.

Müsste ich bei diesen Punkten weiter ausholen?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht, weil schon keine multiplikative Gruppe ist.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mist, sorry. Wieder mal war ich zu flott....
beziehungsweise sollte eine Primzahl sein, für die 3 quadratischer Nichtrest ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eine Teilmenge-Relation, noch bevor es von auf .

Wenn , dann auch . Aber aus kannst du nicht folgern, dass Elemente enthält, auch nicht spezielle wie neutrales Element oder Inverse. Alles was es sagt: Es beinhaltet nicht mehr Elemente als . Das passt super zu assoziativ und kommutativ, da die Eigenschaft für ganz gilt, und insb. jede Teilmenge davon, aber eben nicht zu Neutralen und Inversen wo es um Existenz gilt.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Neutrales und Inverse konnte ich nachweisen.

Könnte ich denn sagen:
, welches bekanntermaßen eine kommutative, multiplikative Gruppe ist.
Also ist M multiplikativ abgeschlossen, kommutativ und assoziativ?

Kommutativität und Aossziativität habe ich nun auch rechnerisch bewiesen. Aber das erscheint mir wenig elegant.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal: und damit . Aber da ist, gilt es nicht ohne die Einschränkung.

Zum anderen: Abgeschlossenheit vererbt sich auch nicht. Wäre :

So hat kein neutrales und damit macht es keinen Sinn über Inverse zu besprechen. Außerdem ist und , aber . Du siehst, die hängen zusammen.

Abgeschlossenheit sagt: Die Elemente, die in der Menge sind, vertragen sich mit der Verknüpfung. Und das ist ein zweiseitiges Schwert:

Je mehr Elemente in der Menge sind, desto "wahrscheinlicher", dass das Produkt zweier Elemente in der Menge wieder in der Menge sind. Da wir ja mehr Elemente in der Menge haben. Auf der anderen Seite wird es aber auch schwieriger, weil wir aus mehr Kombinationen von Elementen Produkte bilden können, welche alle in der Menge liegen mÚssen.

Es geht also nur schön auf, wenn die Elemente gut gewählt sind und sich alle vertragen. Eine einfache Teilmengenrelation ist da viel zu generisch, um das zu gewährleisten.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.
Gut, nehme ich und nicht beide gleichzeitig null. sei eine Primzahl, für die 3 quadratischer Nichtrest ist.

Dann gibt es mit (1,0) ein Neutrales.
Inverse gibt es auch mit .Diese sind definiert, da der Nenner nie null wird.

Kommutativität und Assoziativität rechne ich nach.

Bleibt die Abgeschlossenheit. Geht es folgendermaßen?

Angenommen, es wäre Da die Inversen existieren, folgt oder im Widerspruch zur Voraussetzung.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeschlossen: Du musst zeigen, dass .

D.h. du musst zeigen, dass existieren mit .
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Puh da weiß ich gar nicht weiter. Ich hätte jetzt sonst das gemacht:


Seien .
Zu zeigen:
.

Nun sind die einzelnen Summanden alle in .
Bleibt zu zeigen: .

Oder nicht? verwirrt

Und das hätte ich jetzt mit den Fällen gemacht:
1)
2)
3)
4)
5) Alle

Scheint mir aber halt sehr unmathematisch, daher wüsste ich gerne einen schöneren Weg.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin bei dir, bis zu "Bleibt zu zeigen". Warum möchtest du denn Nullteilerfreiheit zeigen? Das ist wenigstens der Name der Eigenschaft, dass . Das hat nichts mit Abgeschlossenheit der Multiplikation zu tun.

Weiter impliziert, dass alle Elemente in ein Inverses besitzt, dass nullteilerfrei ist.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss doch zeigen, dass das Produkt wieder in liegt.

Nun, es ist .
Für liegen die Produkte alle in .
Nun müsste also noch ausgeschlossen werden, dass gilt. Dann liegt das Produkt wieder in .

Das war mein Gedanke.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du zeigen. Üblicherweise zeigt man das nicht direkt. Du hast es nämlich dafür schon begründet: Die Inversen sind drin und damit ist Nullteilerfreiheit (und damit abgeschlossen in der multiplikativen Gruppe) gegeben.

Ich hatte vorher bei der Definition nicht gesehen, dass du mit wirklich die Gruppe meinst. Ich dachte mehr an eine Ringstruktur, so dass dann die multiplikative Gruppe ist.

Dann passt das alles Freude
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mir unbedingt angewöhnen, deutlicher zu schreiben, das gebe ich zu.

Zitat:
Original von IfindU

Dann passt das alles Freude


Entschuldigung, aber was passt nun genau?
Die fünf Fälle zu untersuchen?
Falls ja, geht das nicht einfacher?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mit passen meinte ich das hier:

Zitat:
Original von ichwarneu
Bleibt die Abgeschlossenheit. Geht es folgendermaßen?

Angenommen, es wäre Da die Inversen existieren, folgt oder im Widerspruch zur Voraussetzung.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ich bedanke mich ganz vielmals!
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