Dichtefunktion

10.09.2021, 18:30

MrGrayBaby

Dichtefunktion

hey Leute stecke gerade hier fest wieder

Keine Ahnung wie ich alpha und Beta beide bekomme ?

Ansatz i)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_{0}^{3} \! \alpha +\beta x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \alpha x +\frac{1}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

Ich habe mal gleich 1 gesetzt ?
$\begin{eqnarray*} 3\alpha +\frac{9}{2} \beta =1 \end{eqnarray*}$

wie bestimme ich aber alpha und Beta?

10.09.2021, 21:06

klauss

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RE: Dichtefunktion
Die Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erfolgt mittels
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$
Reduziere damit die Betrachtung auf die Intervalle, in denen $\begin{eqnarray*} f(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Dichte soll aber auch stetig sein. Das stellt eine Bedingung an die entsprechende Übergangsstelle, woraus direkt der Wert von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ folgt.

10.09.2021, 21:18

MRGRAY

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Ist mein Ansatz richtig ?

Habe doch 0 bis 3 gehen lassen Big Laugh

10.09.2021, 21:25

klauss

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RE: Dichtefunktion
1) Der Ansatz ist offensichtlich nicht richtig, weil $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht nur im Intervall ]0;3] $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

2) Welche Botschaft entnimmst Du der Forderung nach Stetigkeit? Wo kann diese hier von Belang sein?

10.09.2021, 21:29

MRGRAY

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Ist die Funktion ausserhalb von 0 bis -1 stetig ?

10.09.2021, 21:47

klauss

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RE: Dichtefunktion
Bisher ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne weiteres stückweise stetig. Für die Dichtefunktion ist aber gefordert, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf dem gesamten Intervall, wo $\begin{eqnarray*} f(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, stetig ist. Dafür bedarf es zuerst der Anpassung, aus der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ folgt.
Du solltest Dir also jetzt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einmal genau ansehen und die vorliegende Problemstellung in eigenen Worten beschreiben.
Da wir hier im Hochschulbereich sind, sollte man Kenntnisse über Stetigkeit reeller Funktionen voraussetzen dürfen.

10.09.2021, 21:54

MRGRAY

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hmm ich finde nix zu der Stetigkeit im Skript .

Wie soll ich das hier beschreiben . Mir fallen solche Sachen nicht so leicht ? Big Laugh

10.09.2021, 22:08

klauss

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Würde mich nicht wundern, wenn im Statistik-Skript nichts groß über Stetigkeit zu finden ist ...

Dann gebe ich einen deutlicheren Hinweis:
An der Übergangsstelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ teilt sich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in 2 Zweige. Der eine ist festgelegt, der andere - noch - von Parametern abhängig.
Voraussetzung für Stetigkeit ist, dass die beiden Teilzweige an der Übergangsstelle ohne Sprung aneinander anschließen. Wie diese Forderung herzustellen ist, sollte bekannt sein.

10.09.2021, 22:14

MRGRAY

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Soll ich die beiden Gleichungen gleichsetzen?

Einmal nach alpha und beta auflösen?

10.09.2021, 22:20

klauss

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Du mußt die nicht gleichsetzen. Wir wissen doch bereits, an welcher Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sich die beiden Zweige treffen sollen. Es muß nun gewährleistet werden, dass beide Zweige an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch den gleichen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert annehmen.
Welcher $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert muß das nun sein?
Was bedeutet das für einen der Parameter?

10.09.2021, 22:28

MRGRAY

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Wenn man sich die Intervalle anschaut 0?

f(0) = 1/2

f(0) = alpha 2 Funktion

10.09.2021, 22:32

klauss

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Zitat:

f(0) = 1/2

Richtig.

Zitat:

f(0) = alpha 2 Funktion

Verstehe ich allerdings nicht. Bitte stelle eine sinnvolle Gleichung auf.

10.09.2021, 22:39

MRGRAY

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f(x) = alpha +beta x

f(0) = alpha

In die zweite Gleichung 0 setzen auch ?

10.09.2021, 22:43

klauss

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So kommen wir der Sache schon näher.
Demzufolge muß gelten: $\begin{eqnarray*} \alpha = ... \end{eqnarray*}$ ?

10.09.2021, 22:44

MRGRAY

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Nach der logik müsste dann alpha auch 1/2 sein ?

10.09.2021, 22:53

klauss

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So ist es.

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wird dann aus der Normierung des Integrals heraus bestimmt.
Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3} \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$
Da das Integrationsintervall aus 2 Abschnittsfunktionen besteht, müssen wir die Additivität des Integrals nutzen.
Dein Ansatz hierfür?

10.09.2021, 23:08

MrGray

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{3} \! \frac{1}{2}x+1 +\alpha +\beta x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}x^2+x +\alpha x +\beta/2 * x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{21}{4} +\alpha 3 +\beta/2 * 9 - 1/4 -1 - a +\beta/2 \end{eqnarray*}$

Soweit ok ?

Soll ich jetzt für alpha und Beta 1/2 einsetzen und ausrechnen?

10.09.2021, 23:20

klauss

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So stimmt das natürlich auch nicht.
Im einen Teilintervall ist die eine Abschnittsfunktion gültig, im anderen Teilintervall die andere Abschnittsfunktion. Deswegen muß das Integral entsprechend zerlegt werden.

$\begin{eqnarray*} \alpha = 1/2 \end{eqnarray*}$ kann nun gleich eingesetzt werden. Für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ können wir nichts einsetzen. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist die letzte Unbekannte, nach der die Gleichung
Bestimmtes Integral 1 + Bestimmtes Integral 2 = 1
aufgelöst werden muß.

10.09.2021, 23:30

MrGray

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1 Bestimmte Integral :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_{0}^{3} \! \alpha +\beta x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \alpha x +\frac{1}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

?

Müsste das sein ?

10.09.2021, 23:51

klauss

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Im Ergebnis ist das für das eine Integral richtig, ABER:

Die Schreibweise ist in dieser Form falsch. Eine Gleichungskette darf man nur hinschreiben, wenn tatsächlich alle Teile gleich sind. Zu schreiben wäre stattdessen etwa

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3} \! \alpha +\beta x \, dx = \left[\alpha x +\frac{\beta}{2} x^2 \right]_{0}^{3} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

Diesem Term kannst Du aber erst einen Wert zuweisen, wenn Du auch den 2. Teilintegralwert berechnet hast, denn die Summe der Integrale soll ja 1 ergeben.

11.09.2021, 00:03

MrGray

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} x^2+ x = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta +1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3/2 = -\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{6}{18} = \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{3} = \beta \end{eqnarray*}$

Puuh was muss ich jetzt bei der ii machen?

11.09.2021, 00:15

klauss

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+1 \, dx \end{eqnarray*}$

Schöne Idee, aber Du hast die gegebenen Klammern unterschlagen, deshalb ist das Ergebnis falsch. Bitte wiederholen.

Außerdem hast Du trotz meinem vorherigen Hinweis erneut falsche Gleichungsketten hingeschrieben.
Ich meine, mir ist es wurscht, wenn der Korrektor in der Klausur Dir dafür Punkte abzieht.

11.09.2021, 00:28

MrGray

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+ 1/2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} x^2+ 1/2x = -1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta -1/4 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3/2 -5/4 = -\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{4} =-9/2 \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{2}{36} = \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{18} = \beta \end{eqnarray*}$

Hoffe kein Fehler zur späten Stunde ? Big Laugh

11.09.2021, 00:30

MrGray

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Zitat:

Original von MrGray
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+ 1/2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} x^2+ 1/2x = -1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta -1/4 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3/2 -5/4 = -\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{4} =-9/2 \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{2}{36} = \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{18} = \beta \end{eqnarray*}$

Hoffe kein Fehler zur späten Stunde ? Big Laugh

Sorry habe die Klammern wieder vergessen
Schwer mit latex darzustellen Big Laugh

Hoffe kein Fehler in Rechnung

11.09.2021, 00:34

klauss

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+ 1/2 \, dx \end{eqnarray*}$

ist jetzt richtig, aber trotzdem anschließend falsch ausgerechnet.
Die Dichtefunktion nimmt überall nur nichtnegative Werte an, daher kann der Integralwert nicht negativ sein. Probier es nochmal und achte peinlich auf alle Vorzeichen.

11.09.2021, 00:39

MrGray

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[quote]Original von MrGray
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! \frac{1}{2} x+ 1/2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} x^2+ 1/2x = 1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3\alpha +\frac{9}{2} \beta -1/4 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3/2 -5/4 = -\frac{9}{2} \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4} =-9/2 \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{36} = \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{18} = \beta \end{eqnarray*}$

habe es rein korrigiert

Ist 1/4

Ok jetzt?

11.09.2021, 00:43

MrGray

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kommt Beta -1/6 raus?

11.09.2021, 00:47

klauss

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Der Integralwert 1/4 stimmt.

Nun aber:

$\begin{eqnarray*} 3\alpha +\frac{9}{2} \beta \textcolor{red}{+}1/4 = 1 \end{eqnarray*}$

11.09.2021, 00:54

MrGray

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3/2 +1/4 -4/4 = -9/2 beta

3/4 = -9/2 beta

6/36 = -beta

-1/6 = beta

Finde den Fehler nicht? Big Laugh

11.09.2021, 00:57

klauss

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RE: Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} \beta=-1/6 \end{eqnarray*}$ ist korrekt.
Damit ist i. gelöst und die komplette Dichtefunktion bestimmt.

[attach]53603[/attach]

11.09.2021, 01:00

MrGray

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Endlich

Hast du tipps für ii?

11.09.2021, 01:10

klauss

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RE: Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq 1\right) =\int_{-\infty }^{1} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Infolge des langwierigen Weges zu i. solltest Du nun hieraus zielsicher schließen können, was zu tun ist ...

11.09.2021, 01:43

MrGray

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3/4 -1/4 +2/4 = 0 ?

11.09.2021, 02:01

klauss

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RE: Dichtefunktion
verwirrt

Keine Ahnung, was diese Gleichung hier aussagen soll.

Du solltest das zuletzt angegebene Integral der Dichtefunktion unter Beachtung der Regeln aus der Analysis berechnen.

11.09.2021, 02:10

MrGray

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1/4 +1/2 -1/4 +1/2 = 1

Besser?

11.09.2021, 02:18

klauss

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RE: Dichtefunktion
Deine beiden letzten Gleichungen waren rechnerisch richtig, aber im Sachzusammenhang sinnlos.

Ich sehe bisher keine ordentlichen Ansäze zur Integralberechnung - idealerweise so einfach wie möglich unter Verwendung der Ergebnisse aus i. und meines Graphen der Dichtefunktion.

11.09.2021, 02:34

MrGray

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RE: Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq 1\right) =\int_{-\infty }^{1} \! \, dx = 1/4x^2 +1/2x \end{eqnarray*}$

Hier grenzen oer ?

11.09.2021, 02:45

klauss

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RE: Dichtefunktion
Es wäre zu erwarten gewesen, dass Du aus Teil i. die notwendige Zerlegung des Integrals mitgenommen hättest, da das Integral sich über verschiedene Abschnitte der Dichtefunktion erstreckt.

11.09.2021, 09:18

MrGray

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{1} \! \alpha +\beta x + 1/2 *x + 1/2 \, dx = \left[\alpha x +\frac{\beta}{2} x^2+ 1/4*x^2 + 1/2 *x \right]_{ -\infty }^{1} = +\infty \end{eqnarray*}$

Wieso lässt man aber die Grenzen von minus unendlich bis + unendlich gehen ?

Es gibt auch noch ne b) Big Laugh

Poste ich schon mal

11.09.2021, 09:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von MrGray
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{1} \! \alpha +\beta x + 1/2 *x + 1/2 \, dx = \left[\alpha x +\frac{\beta}{2} x^2+ 1/4*x^2 + 1/2 *x \right]_{ -\infty }^{1} = +\infty \end{eqnarray*}$

Das ist purer Unsinn, die drei für verschiedene (!) Intervalle gültigen Dichteterme einfach zu addieren und dann über das Gesamtintervall zu integrieren. unglücklich

Richtig ist die Aufteilung des Gesamtintervalls in die durch die Dichtefunktion vorgegebenen Intervalle, und dort dann den jeweils gültigen Term als Integranden einzusetzen, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 1) = \int\limits_{-\infty}^{-1} 0 ~ \dd x ~+~ \int\limits_{-1}^0 \frac{1}{2}(x+1) ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^1 (\alpha+\beta x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

natürlich die oben berechneten $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{2},\beta=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ da eingesetzt.

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