Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln

11.09.2021, 17:33

Arborem

Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln

Hallo zusammen.
Wir haben gerade das Thema Binome und Ausklammern als Repetition.

Generell klappt's eigentlich gut mit den Aufgaben. Aber ich bin an eine Knacknuss gelangt, die mir Mühe macht, weil ich nicht weiss, wie ich vorzugehen habe. Bis a) und b) ging's problemlos. Nun schaffe ich aber Aufgabe c) nicht.
Bevor ich zur Aufgabe komme, möchte ich erwähnen, dass es mir nicht darum geht, dass mir jemand die Lösung präsentiert. Tatsächlich habe ich die Lösung bereits (sind hinten im Buch). Es geht mir also nicht ums Hausaufgaben erledigen lassen Augenzwinkern

.

Nun, gut: Aufgabe b) sah wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} (e + f)^{2} - (e + f + g)^{2} \end{eqnarray*}$
Das ist noch relativ einfach. Man behandelt beide Klammerausdrücke im Quadrat als $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ , also 3. binomische Formel und erhält: $\begin{eqnarray*} -g(2e + 2f + g) \end{eqnarray*}$

Die Knacknuss sieht so aus: $\begin{eqnarray*} 1 - v^{2} - 2vw - w^{2} \end{eqnarray*}$
und sollte: $\begin{eqnarray*} (v + w + 1)(-v -w +1) \end{eqnarray*}$ ergeben.

Ich habe aber keine Ahnung, wie ich darauf komme. Ich habe als Lösung irgendetwas gewurstelt, weil der Teil von $\begin{eqnarray*} v^{2} - 2vw - w^{2} \end{eqnarray*}$ nach Binom aussieht, wo ich dachte, dass müsse man vielleicht in einem ersten Schritt angehen, um dann die Aufgabe zu lösen. Ist ja aber leider kein Binom zweiter Formel, da Minus vor dem w.

Kann mir jemand helfen?
Besten Dank.

11.09.2021, 17:37

Huggy

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln
$\begin{eqnarray*} 1-v^2-2vw-w^2=1-(v^2+2vw+w^2) \end{eqnarray*}$

Vielleicht fällt jetzt der Groschen?

11.09.2021, 17:47

Arborem

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} 1-v^2-2vw-w^2=1-(v^2+2vw+w^2) \end{eqnarray*}$

Vielleicht fällt jetzt der Groschen?

Noch nicht ganz. Respektive ja, aber ich verstehe nicht, was du genau machst, dass sich die Vorzeichen ändern.

11.09.2021, 17:53

Huggy

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln
Das sind einfach die Vorzeichenregeln. Noch ausführlicher

$\begin{eqnarray*} 1-v^2-2vw-w^2=1-1 \cdot (v^2+2vw+w^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere mal den Klammerausdruck mit der $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

11.09.2021, 18:28

Arborem

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln

Zitat:

Original von Huggy
Das sind einfach die Vorzeichenregeln. Noch ausführlicher

$\begin{eqnarray*} 1-v^2-2vw-w^2=1-1 \cdot (v^2+2vw+w^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere mal den Klammerausdruck mit der $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist der Groschen gefallen, danke.

Ich nehme an, es spielt keine Rolle, ob ich das Resultat wie im Eingangspost oder so geordnet darstelle: $\begin{eqnarray*} (1 + v + w)(1 - v - w) \end{eqnarray*}$

11.09.2021, 18:37

Huggy

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln
Ja, die Reihenfolge der Anordnung innerhalb der Klammern spielt keine Rolle.

12.09.2021, 01:18

klauss

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RE: Mithilfe der dritten Binomformel in ein Produkt verwandeln
Alternativvorschlag, den man auch probieren kann, wenn sich eine binomische Formel nicht direkt aufdrängt:
Behandlung von
$\begin{eqnarray*} -\left[v^{2} + 2vw + \left(w^{2}-1\right) \right] \end{eqnarray*}$
als Polynom einer der vorhandenen Variablen, hier $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , mit Faktorisierung nach den Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} v^{2} + 2vw + \left(w^{2}-1\right) =0 \end{eqnarray*}$
hat gemäß pq-Formel die Lösungen
$\begin{eqnarray*} v_{1/2}=-w \pm 1 \end{eqnarray*}$
woraus insgesamt die Faktorisierung
$\begin{eqnarray*} -\left[v-(-w+1)\right]\cdot \left[v-(-w-1)\right] \end{eqnarray*}$
resultiert.

Kann auch mit mehr als 2 Variablen funktionieren.
Zugegebenermaßen wird diese Methode aber in der Schule zum Zeitpunkt der Einführung binomischer Fomeln noch lange nicht zur Verfügung stehen.

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