Berühren zweier Graphen

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Thomas Auf diesen Beitrag antworten »
Berühren zweier Graphen
Hi,
hier zeige ich euch heut mal meine Mathehausaufgabe, weil ich mir selber noch nicht zu 100 % sicher bin wie ich das mache Augenzwinkern

Zitat:

Gegeben sind die Funktionen
f(x) = 2x^3 und g_a(x) = ax^2 - 1.
Gib die bedingungen an, die erfüllt sein müssen, damit sich die Graphen zweier Funktionen in einem Punkt P0(x0/y0) berühren.
Bestimme nun a so, dass sich die Graphen der Funktionen f und g_a in einem Punkt berühren.
Der Graph von f sei C1, der von g_3(x) = 3x^2 - 1 sei C2.
Berechne den berührpunkt B und den Schnittpunkt S von C1 und C2 und gib die Funktionsgleichung der gemeinsamen Tangente t an!
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven?
zeichne die Graphen C1 und C2 im Intervall -1,5 <= x <= +1,5!
(Wähle dabei als Längeneinheit 2 cm!)
Bestimme den Kurvenpunkt des Graphen von g(x) = 3x^2 - 1, der vom Ursprung die kleinste Entfernung hat. Wie groß ist diese Entfernung?


so das wars schon. ein paar gedanken hab ich mir in den letzten minuten der mathestunde auch schon dazu gemacht.
die bedingungen sind so, dass die y-werte der beiden Funktionen an x0 gleich sein müssen, und dass bei werten kleiner x0 der y-wert der einen funktion und der der y-wert bei werten größer x0 kleiner bzw. größer als der der anderen funktion sein muss.
das heißt, dass die y-werte in der umgebung von x0 der einen funktion auf beiden seiten entweder beide größer oder beide kleiner sind, damit eine berührung vorliegt. ansonsten würden sich die graphen ja schneiden.
bloß weiß ich noch nicht genau wie ich das mathematisch genau hinschreiben soll?

Dann das bestimmen von a, das überleg ich mir jetzt, das danach mit den Schnittpunkten usw. ist ja alles einfach.
das mit der entfernung vom ursprung muss ich mir auch noch kuurz überlegen...
Augenzwinkern
so und jetzt dürft ihr dazu was schreiben/lösen/ usw.
Augenzwinkern
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berühren zweier Graphen
uff ne des schoff i net
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

jama hat mir ein licht aufgehen lassen:
die graphen berühren sich dann, wenn funktionswert und steigung gleich sind, is ja klar.

jetzt bin ich schon bei der berechnung des schnittwinkels 8)
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du irgendwann mal zeit hast, kannst du ja den lösungsweg posten? smile
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

also,
ich machs hier mal im groben, später vielleicht noch ganz genau, aber dazu müsst ich jetzt in mein zimmer gehen und mein blatt holen und dazu hab ich keine lust etz smile

also, ableitungen gleich setzen:

f'(x) = g_a'(x)
d.h.
3x^2 = 2ax
damit a = 3x

dass einfach einsetzen in g_a(x):
2x^3 = 3x^3 - 1
x ist damit 1. und a = 3

beim nächsten gleiches vorgehen,
d.h. Berührpunkt:
B(1|2)

Beim schnittpunkt setzt man dann die funktionsterme gleich, und lässt die lösung x=1 raus...

2x^3 = 3x^2 - 1

x ist damit -0,5 (geraten... wie soll ich das sonst lösen? oder hab ich nur ein brett vorm kopf?)

und der schnittpunkt damit S(-0,5|-0,25)

den schnittwinkel berechnet man damit, dass man die differenz der beiden steigungen im schnittpunkt nimmt, und daraus mittels tangens auf den winkel zurückrechnet... ist dann tan^-1 von 4,5 ...

die minimale entfernung berechnet man so, dass man eine neue funktion aufstellt, die die entfernung beschreibt, bei mir h:

h(x) = Wurzel(x^2 + (g(x))^2)

und davon such man jetzt ein minimum...
vereinfacht kann man sagen, dass sich die gleichung auf x^2 + (g(x))^2 reduziert, weil das dann trotzdem ein minimum ist...

davon nimmt man dann halt die ableitung, setzt sie gleich 0 und dann hat man also punkte mit der geringesten entfernung folgende:
x1 = 0; x2 = 1/6(Wurzel(10)) und x3 = -1/6(Wurzel(10))

die entfernung ist eins (einfach 0 in h(x) einsetzen)

das wars schon...

noch fragen? Augenzwinkern
bayaaaaa Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, hab mal ne frage, warum hast du bei:

g_3(x) = 3x^2 - 1

nachher mit 3x^3 - 1 gerechnet?

ein fehler von dir oder?

ich hab das thema mal garnicht drauf:s und das hat mich dann noch mehr verwirrt....
 
 
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