Ungleichung lösen mit Betrag

12.09.2021, 17:43

anna-lisa

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Ungleichung lösen mit Betrag

Meine Frage:
Hallo,
ich würde gerne nachfragen ob meine Lösung korrekt ist & ob jemand diese gegenprüfen könnte.
Aufgabe:
| x-3 | > 27| 2x-2 |

Meine Ideen:
Meine Überlegung:
| x-3 | > 27| 2x-2 | |:2x-2
\frac{| x-3 | }{| 2x-2 | } < 27
\frac{-3}{x-2} < 27

Dann könnte ich ja im Grund alles aus aus R für x einsetzen?
Ist das so korrekt oder mache ich etwas total falsch?

Vielen Dank & Lg

12.09.2021, 17:51

G120921

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RE: Ungleichung lösen mit Betrag
Fallunterscheidung:

1. x>=3

2. 1<=x<3

3. x<1

12.09.2021, 17:51

Helferlein

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Dazu stellen sich mir vier Fragen:
1. Wieso fällt im ersten Schritt der Betrag weg, wo Du doch nur durch den Term innerhalb der Betragstriche teilst?
2. Wieso wird aus dem kleiner Zeichen im ersten Schritt ein größer?
3. Welche Rechnung hast Du im letzten Schritt vorgenommen
4. Wieso sollte die letzte Ungleichung für beliebige reelle Zahlen stimmen? Auf der linken Seite steht eine gebrochenrationale Funktion, die bei x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

12.09.2021, 18:11

anna-lisa

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Hallo, vielen Dank für die Antworten erstmal smile

smile

1. Ich dachte ich könnte dies wie eine Gleichung behandeln im ersten Schritt? Und wenn ich durch (|2x-2|) rechts teile, muss ich ja auch links teilen oder? Der Betrag ist erhalten geblieben.
2. Ja bei dem kleiner/größer Zeichen war ich mir unsicher, irgendwas hatte ich da im Kopf das es sich manchmal umdreht? Bin mir aber nicht mehr sicher wann, dachte beim teilen und multiplizieren?
3. Im letzten Schritt habe ich die Überlegung angestellt, dass egal was ich in den Nenner einsetze, dass es ein Bruch ist. Und ein Bruch mit dem Zähler -3 ist ja immer kleiner als 27.
4. Ups. Stimmt die 0 ist nicht definiert. Das habe ich übersehehen unglücklich

unglücklich

Also hier mal ein Bild (ich weiß noch nicht wie ich hier die Formeln einfügen soll)

ibb.co/1dLygz0

12.09.2021, 18:25

G120921

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Warum machst du keine Fallunterscheidung, wie es in der Schule üblich ist?
Die Nullstellen der Beträge helfen dabei.

12.09.2021, 18:31

anna-lisa

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Ich müsste erst einmal schauen was eine Fallunterscheidung ist, kenne sie leider nicht. Aber ich lese mich gerade ein...

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12.09.2021, 18:33

anna-lisa

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Hast du vielleicht einen Link oder könntest du mir das kurz vorrechnen wie das mit der Fallunterscheidung zu lösen wäre? :/

12.09.2021, 18:35

Helferlein

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Zunächst einmal : Es ist $\begin{eqnarray*} \frac x{|x|}=sgn(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ (sgn x= 1 mal Vorzeichen von x)
Und zum Umdrehen des Zeichens: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird aus < ein > bzw. umgekehrt.

Der Hinweis unseres Datumsgast ist eine Standardmöglichkeit mit Ungleichungen, die einen Betrag enthalten, umzugehen.
Hier könntest Du aber durchaus auch deine Idee verfolgen: Herausziehen der 2 aus dem Betrag, Division durch den Betrag und danach den Bruch auf der linken Seite in Konstante plus Restterm zerlegen.

12.09.2021, 18:36

G120921

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1. x>=3

x-3 >27*(2x-2)

...

12.09.2021, 19:07

anna-lisa

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Ok, ich setze mich morgen noch einmal dran mit einem frischen Kopf smile

smile

Vielen Dank erstmal, ich bringe morgen Nachmittag dann ein update dazu =)

12.09.2021, 19:13

HAL 9000

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Kleiner Tipp, der sehr oft für Ungleichungen vom Typ $\begin{eqnarray*} |f(x)| > |g(x)| \end{eqnarray*}$ greift: Diese Ungleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \left(f(x)\right)^2 > \left(g(x)\right)^2 \end{eqnarray*}$ , was im ersten Moment komplizierter erscheint. Das ist aber nicht unbedingt so, denn wenn man weiter äquivalent umformt (u.a. mit Dritter Binomischer Formel), so erhält man

$\begin{eqnarray*} \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(f(x)+g(x)\right)\cdot \left(f(x)-g(x)\right) > 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h., die Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn

a) $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)>0 \end{eqnarray*}$

oder aber

b) $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)<0 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Vorteil dieser Betrachtung ist, dass man sich nicht in Fall- und Unterfallunterscheidungen bzgl. der Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ unnötig aufreiben muss.

Auf den vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=27(2x-2) \end{eqnarray*}$ appliziert: Da ist $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x) = 55x-57 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) = -53x+51 \end{eqnarray*}$ , und jetzt muss man "nur" noch aus a) und b) seine Schlussfolgerungen ziehen...

Aber eine Warnung: Das ganze klappt nur für genau diesen Ungleichungs-Typ. Sobald die Struktur "zerstört" ist, etwa bei $\begin{eqnarray*} |f(x)| > |g(x)| + C \end{eqnarray*}$ , so bringt das ganze nichts mehr.

12.09.2021, 19:41

G120921

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@HAL:
Dein hochprofessioneller Ansatz dürfte einen Schüler:in ziemlich überfordern.
Interessant ist er nichtsdestoweniger.
Mathe-Götter wie dich zu beobachten ist immer wieder faszinierend. Freude

Freude

13.09.2021, 08:49

HAL 9000

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Man kann auch ohne die Quadrate begründen, dass man letztlich auf die Ungleichungen bei a) und b) kommt.

Im ersten Fall $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} |f(x)| = f(x) > |g(x)| \end{eqnarray*}$ gelten, das beinhaltet sowohl $\begin{eqnarray*} f(x) > g(x) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f(x) > -g(x) \end{eqnarray*}$ , das ist a).

Im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} |f(x)| = -f(x) > |g(x)| \end{eqnarray*}$ gelten, das beinhaltet sowohl $\begin{eqnarray*} -f(x) > g(x) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} -f(x) > -g(x) \end{eqnarray*}$ , das ist b).

Auch hier müssen die Fallbedingungen nicht geprüft werden, da sie durch das simultane Erfülltsein der jeweils zwei Ungleichungen automatisch gelten.

13.09.2021, 09:32

G130921

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Bleibt die Frage:
Was geht hier schneller (in der Prüfung)?

13.09.2021, 10:57

HAL 9000

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Letztendlich muss man die von mir dann genannten Ungleichungen in a) und b) eh lösen. Wenn dann die Prüfung der Fallbedingungen $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ etc. wegfallen, dann ist die Frage geklärt, was schneller geht.

13.09.2021, 18:01

anna-lisa

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Letztlich habe ich es doch mit der Fallunterscheidung gelöst traurig

traurig

Als Ergebnis habe ich [1; 57/55)
Trotzdem hätten mich die beiden Lösungsansätze von HAL 9000 & vor allem mein eigener Ansatz von Anfang, den ich trotz Helferlein's Tipp, leider alleine nicht lösen konnte interessiert unglücklich

unglücklich

Lg

13.09.2021, 18:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von anna-lisa
Trotzdem hätten mich die beiden Lösungsansätze von HAL 9000 & vor allem mein eigener Ansatz von Anfang, den ich trotz Helferlein's Tipp, leider alleine nicht lösen konnte interessiert unglücklich

unglücklich

Was gibt es da mit dem Kopf zu schütteln? Ansatz und Lösung stehen doch nahezu komplett oben da!

13.09.2021, 18:41

anna-lisa

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Das war überhaupt nicht böse gemeint, ich habe den Kopf über mich selbst geschüttelt traurig

traurig

Tut mir leid...

13.09.2021, 19:32

Huggy

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Zitat:

Original von anna-lisa
Letztlich habe ich es doch mit der Fallunterscheidung gelöst traurig

traurig

Als Ergebnis habe ich [1; 57/55)

Das ist aber nicht der gesamte Lösungsbereich. Anscheinend hast du noch nicht alle Fälle betrachtet.

Wenn man in so ein Thema wie "Ungleichungen mit Beträgen" neu einsteigt, sollte man zunächst mal eine Basismethode, die immer funktioniert, so lange üben, bis man sie beherrscht. Die Basismethode ist hier die Fallunterscheidung. Das sollte einen aber nicht davon abhalten, sich parallel alternative und oft schnellere Methoden zu merken.

Ungleichungen mit Beträgen sind recht fehlerträchtig. Eine Skizze hilft, Fehler in der Rechnung zu entdecken. Hier ein Plot des relevanten Bereichs:

[attach]53615[/attach]

13.09.2021, 22:54

Helferlein

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Dann nochmal meinen Ansatz von oben: Für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} | x-3 | > 27| 2x-2 | =54|x-1| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left|\frac {x-3}{x-1}\right| >54 \quad \Leftrightarrow \quad \left|1-\frac {2}{x-1}\right| >54 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left( 1-\frac {2}{x-1} \right) >54 \; \vee \; \left( 1-\frac {2}{x-1} \right) <-54 \end{eqnarray*}$

Und dann fängt die Fleißarbeit an die x-Werte zu bestimmen, die diese Ungleichungen erfüllen. Nicht unbedingt einfacher, aber es wäre der Weg, den Du zuerst vorgeschlagen hattest.

Edit: Letzte Zeile verkürzt.

14.09.2021, 06:26

Lutetia

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Viele interessante Wege führen von Potsdam nach Berlin, auch der über Paris,
auf dem man viel erleben kann, wenn man viel Zeit hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2021, 20:01

anna-lisa

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Ein riesen, riesen großes Dankeschön für diese ausführliche Darstellung, jetzt hilft sie mir enorm weiter =) @Helferlein smile

smile

smile

smile

16.09.2021, 15:37

HAL 9000

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@Lutetia

Genau, im vorliegenden Fall führt der Standardweg über Paris. Weswegen ich ja vorgeschlagen habe, einen kürzeren Weg zu nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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