Newtonsche Interpolation 1

13.09.2021, 12:43

MrFingers

Newtonsche Interpolation 1

Hi Leute Mr Fingers hat Mut geschöpft und ist wieder zurück
Will mich von solchen Leuten wie Papuga nicht unterkriegen lassen Big Laugh

Habe mich an dem Newton Verfahren ran gemacht :

Wie bekomme ich bei Aufgabe 1 das p2(y) ?

Stecke da fest ?

13.09.2021, 12:48

Elvis

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"Sapere aude" ist ein lateinisches Sprichwort und bedeutet "Wage es, weise zu sein". Meist wird es in der Interpretation Immanuel Kants zitiert, der es 1784 zum Leitspruch der Aufklärung erklärte: „Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen."

13.09.2021, 13:19

MrFingers

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Ja habe versucht Big Laugh

.Bin aber nicht weiter gekommen

Habe gedacht frage nach ?

13.09.2021, 13:40

Steffen Bühler

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Du hast drei Punkte der Umkehrfunktion gegeben und sollst zum Beispiel eine quadratische Funktion dazu finden. Kriegst Du hin, oder?

Wenn nicht, schreib nicht einfach nur, dass Du feststeckst oder nicht weiterkommst, sonst können wir Dir nicht helfen. Was genau ist das Problem?

Viele Grüße
Steffen

13.09.2021, 14:26

MrFingers

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wenn das f(x) = x+3 gegeben ist

f(0) = 3

Aber wenn ich 1 einsetze soll 2 raus kommen würde das nicht passen
Komme daher nicht auf das Polynom?

13.09.2021, 14:37

Steffen Bühler

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Du sollst doch die Umkehrfunktion von f(x) interpolieren! Also irgendeine Funktion $\begin{eqnarray*} p_2(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_2(3)=0, p_2(2)=1, p_2(-1)=\frac 52 \end{eqnarray*}$

Ich würde es quadratisch machen, dann triffst Du auf jeden Fall alle drei Punkte exakt. Wenn Du es linear machen willst (z.B. über eine Regression), wirst Du einen Kompromiss eingehen müssen, hast es aber nachher leichter zu rechnen.

Du bist dran.

13.09.2021, 14:53

MrFingers

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Wie mache ich das genau quadratisch Steffen?

13.09.2021, 14:59

Steffen Bühler

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Du hast dann also eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} p_2(y) = a \cdot y^2+b \cdot y+c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_2(3)=0, p_2(2)=1, p_2(-1)=\frac 52 \end{eqnarray*}$ . Klar, oder?

Jetzt setzt Du die drei Punkte ein, also z.B. den ersten mit

$\begin{eqnarray*} p_2(3) = a\cdot 3^2+b \cdot 3+c= 9a+3b+c=0 \end{eqnarray*}$

und noch die beiden anderen. Dann hast Du drei Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c.

13.09.2021, 15:19

MrFingers

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Hi hier meine Rechnung als Foto

Für c kommt ein komischer Wert raus?

Fehler ?

13.09.2021, 15:49

Steffen Bühler

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Bei Deiner zweiten Gleichung stimmt was nicht, wenn Du $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhältst Du doch

$\begin{eqnarray*} p_2(2) = a\cdot 2^2+b \cdot 2+c= \dots \end{eqnarray*}$

13.09.2021, 16:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von MrFingers
Habe mich an dem Newton Verfahren ran gemacht :

Da das eigentliche Newton-Verfahren auf einem ganz anderen Gebiet zuhause ist, meinst du hier womöglich die Newtonsche Polynominterpolation. Die läuft eigentlich über ein Differenzenschema:

code:
1: 2: 3:	3 0 2 1 (1-0)/(2-3) = -1 -1 5/2 (5/2-1)/(-1-2) = -1/2 (-1/2-(-1))/(-1-3) = -1/8

Entlang der Diagonale gelesen bekommt man dann die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} 0, -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ der Newtonpolynom-Darstellung

$\begin{eqnarray*} p_2(y) = {\color{red}0} + (y-3)\left({\color{red}-1}+(y-2)\cdot {\color{red}\left(-\frac{1}{8}\right)}\right) \end{eqnarray*}$ .

Kann man natürlich auch noch ausmultiplizieren, wenn man die Standardform $\begin{eqnarray*} p_2(y)=ay^2+by+c \end{eqnarray*}$ haben will, aber wenn ich die Aufgabenstellung richtig lese, ist das hier nicht mal gefordert. Selbstverständlich muss dann dasselbe rauskommen, wie mit der Gleichungssystemmethode, denn das Polynom ist ja eindeutig.

13.09.2021, 18:17

MrFingers

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Ich probiere es jetzt trotzdem noch über den anderen Weg .
Auf jeden Fall danke Hal9000

Alles richtig soweit?

13.09.2021, 19:09

MrFingers

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MrFingers
Habe mich an dem Newton Verfahren ran gemacht :

Da das eigentliche Newton-Verfahren auf einem ganz anderen Gebiet zuhause ist, meinst du hier womöglich die Newtonsche Polynominterpolation. Die läuft eigentlich über ein Differenzenschema:

code:
1: 2: 3:	3 0 2 1 (1-0)/(2-3) = -1 -1 5/2 (5/2-1)/(-1-2) = -1/2 (-1/2-(-1))/(-1-3) = -1/8

Verstehe aber nicht hier wie du das genau berechnet hast ?

Also die Werte 0, - 1/8 , -1

13.09.2021, 19:12

HAL 9000

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Ich hab die Rechenschritte aufgeschrieben - wenn du das mit dem Rechenschema abgleichst (DU hast ja von Newton gesprochen statt von bloßer Polynominterpolation, daher nehme ich an, du hast das kennengelernt), sollte es klar werden. Ich werd den Teufel tun, das bis zum Erbrechen auseinanderzunehmen.

Lös doch erstmal dein GLS auf, sieht doch bisher gut aus.

13.09.2021, 19:27

MrFingers

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Die Ergebnisse wirken schlecht:

8c = 18

c= 9/4

1.5b +1.25*9/4 = 2.25

b= 3/8

a=3/8

?

13.09.2021, 21:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MrFingers
1.5b +1.25*9/4 = 2.25

b= 3/8

Hm.

Zitat:

Original von MrFingers
a=3/8

Hm.

13.09.2021, 22:01

MrFingers

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Erkennst du den Fehler Steffen?
Ich erkenne ihn nicht

14.09.2021, 09:02

HAL 9000

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Bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ : Vorzeichen!!!

14.09.2021, 17:54

MrFingers

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Neue Ergebnisse ?

c= 9/4

b= - 3/8

a = - 1 /8

Besser ?

14.09.2021, 17:58

Steffen Bühler

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Prima!

Der Wert der Umkehrfunktion an der Stelle Null verrät Dir nun, an welcher Stelle die Ursprungsfunktion den Wert Null hat, nämlich...

14.09.2021, 18:10

MrFingers

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ja aber wie bist du auf die Kurve gekommen ?

c = 9/4 = 2.25

Das ist wo der Punkt 0 ist

Warum haben wir die Punkte a und b berechnet ?

Verstehe noch nicht ganz den Nutzen sorry Big Laugh

15.09.2021, 09:34

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MrFingers
wie bist du auf die Kurve gekommen ?

Ich hab a, b und c in $\begin{eqnarray*} p_2(y) = a \cdot y^2+b \cdot y+c \end{eqnarray*}$ eingesetzt und grafisch dargestellt.

Zitat:

Original von MrFingers
c = 9/4 = 2.25

Das ist wo der Punkt 0 ist

Genau, und damit ist das angenähert die in ii. gefragte Nullstelle von f(x). Wenn man bei der Umkehrfunktion Null einsetzt, erhält man grundsätzlich die Nullstelle der eigentlichen Funktion. Grafisch ist das ein Vertauschen der beiden Achsen.

Zitat:

Original von MrFingers
Warum haben wir die Punkte a und b berechnet ?

Was sollten wir tun? Das war von der Aufgabe in Teil i. so verlangt. Wir sollten die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} p_2(y) \end{eqnarray*}$ interpolieren. Das hast Du nun erfolgreich getan.

Du hättest, wie gesagt, auch eine Gerade durchlegen können, das Polynom muss laut Text nicht unbedingt vom Grad 2 sein. Am einfachsten wäre es dann gewesen, die drei Punkte dick auf Papier zu malen und einen Bleistift so gut wie möglich als Ausgleichsgerade drüberzulegen. Die Funktion dazu ist dann auch schnell gefunden. Und auch dann wäre der Wert bei Null die gesuchte Zahl gewesen.

Zitat:

Original von MrFingers
Verstehe noch nicht ganz den Nutzen

Ziel war ja, die Nullstelle der Funktion f(x) herauszufinden, die durch die Tabellenwerte gegeben ist. Wie Du siehst, ist die bei 1 noch positiv, bei 2,5 ist sie negativ. Also liegt die Nullstelle irgendwo dazwischen.

Man hätte die Nullstelle natürlich auf viele andere Arten suchen können. Diese ist eine davon, durchaus etwas ungewöhnlich, aber dient wohl auch der Übung.

Viele Grüße
Steffen

15.09.2021, 09:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Diese ist eine davon, durchaus etwas ungewöhnlich, aber dient wohl auch der Übung.

Für die Altvorderen, die sich noch ohne Taschenrechner/Computer mit Tafelwerken rumplagen mussten, war eine solche quadratische Interpolation zwischen drei aufeinander folgenden Tabellenwerten nicht ungewöhnlich: Gut, sehr oft hat auch lineare Interpolation genügt, aber für gehobene Genauigkeitsansprüche musste es dann auch schon mal eine quadratische Interpolation sein.

15.09.2021, 10:22

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für die Altvorderen, die sich noch ohne Taschenrechner/Computer mit Tafelwerken rumplagen mussten, war eine solche quadratische Interpolation zwischen drei aufeinander folgenden Tabellenwerten nicht ungewöhnlich

Das Ungewöhnliche war hier, zumindest für mich, dass man die Umkehrfunktion interpoliert und über deren Abszissenabschnitt auf die gesuchte Nullstelle schließt. Das ist schon etwas durch die Brust ins Auge.

15.09.2021, 10:36

HAL 9000

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Bei Quantilberechnungen der Standardnormalverteilung tritt genau sowas auf: Tabelliert war gewöhnlich ja nur die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ , deren Umkehrfunktion ja die Quantilfunktion ist.

15.09.2021, 12:29

MrFingers

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Was mache ich bei der ii) jetzt?

15.09.2021, 12:39

Steffen Bühler

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Ich glaube, das schrieb ich bereits:

Zitat:

c = 9/4 = 2.25

Das ist wo der Punkt 0 ist

Also $\begin{eqnarray*} \hat x = \frac 94 \end{eqnarray*}$ hinschreiben.

15.09.2021, 14:31

MrFingers

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Ja steffen aber wie komme ich mit deiner Methode auf das Interpolationspolynom ?

Die Methode von Hal9000 ist schnell aber für mich schwer zu verstehen leider Big Laugh

15.09.2021, 14:36

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MrFingers
wie komme ich mit deiner Methode auf das Interpolationspolynom ?

Genauso, wie Du es bereits getan hast! Du hast doch

Zitat:

c= 9/4

b= - 3/8

a = - 1 /8

berechnet, damit ergibt sich das gesuchte Interpolationspolynom zu $\begin{eqnarray*} p_2(y) = - \frac 18 \cdot y^2 - \frac 38 \cdot y+ \frac 94 \end{eqnarray*}$

Das ist die Funktion, die exakt durch die gegebenen drei Punkte läuft, wie der Graph zeigt.

15.09.2021, 14:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von MrFingers
Die Methode von Hal9000 ist schnell aber für mich schwer zu verstehen leider Big Laugh

Das ist nicht die Methode von HAL9000, sondern die originale Newton-Interpolationsmethode. Das besondere am Interpolationspolynom in dieser Newtonschen Darstellung ist, dass es wirklich schrittweise die Hinzunahme weiterer Punkte verkörpert:

$\begin{eqnarray*} p_0(y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist die konstante Funktion, indem einfach $\begin{eqnarray*} f^{-1}(3)=0 \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ fortgeschrieben wird.

$\begin{eqnarray*} p_1(y) = 0 + (y-3)\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ ist die lineare Funktion, die $\begin{eqnarray*} f^{-1}(3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(2)=1 \end{eqnarray*}$ durch eine Gerade verbindet

$\begin{eqnarray*} p_2(y) = 0 + (y-3)\cdot (-1) + (y-3)(y-2)\cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \end{eqnarray*}$ ist dann die quadratische Funktion, die $\begin{eqnarray*} f^{-1}(3)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^{-1}(2)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(-1)=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ durch eine Parabel verbindet.

Und so könnte man jetzt relativ leicht evtl. weitere Punkte der Umkehrfunktion anfügen, für $\begin{eqnarray*} p_3(y) = p_2(y) + (y-3)(y-2)(y+1)\cdot (\ldots) \end{eqnarray*}$ als kubisches Polynom usw.

15.09.2021, 14:46

MrFingers

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Ah ok .Danke euch beiden für die Mühe

Ihr seid beide. überraschend Geduldig geblieben Big Laugh

15.09.2021, 15:38

HAL 9000

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Bitte Threadtitel ändern, beispielsweise Newtonsche Interpolation 1

Erledigt. Steffen

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Newtonsche Interpolation 1

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