Newtonsche Interpolation 1 |
13.09.2021, 12:43 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Newtonsche Interpolation 1 Will mich von solchen Leuten wie Papuga nicht unterkriegen lassen Habe mich an dem Newton Verfahren ran gemacht : Wie bekomme ich bei Aufgabe 1 das p2(y) ? Stecke da fest ? |
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13.09.2021, 12:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
"Sapere aude" ist ein lateinisches Sprichwort und bedeutet "Wage es, weise zu sein". Meist wird es in der Interpretation Immanuel Kants zitiert, der es 1784 zum Leitspruch der Aufklärung erklärte: „Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen." |
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13.09.2021, 13:19 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ja habe versucht .Bin aber nicht weiter gekommen Habe gedacht frage nach ? |
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13.09.2021, 13:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Du hast drei Punkte der Umkehrfunktion gegeben und sollst zum Beispiel eine quadratische Funktion dazu finden. Kriegst Du hin, oder? Wenn nicht, schreib nicht einfach nur, dass Du feststeckst oder nicht weiterkommst, sonst können wir Dir nicht helfen. Was genau ist das Problem? Viele Grüße Steffen |
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13.09.2021, 14:26 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
wenn das f(x) = x+3 gegeben ist f(0) = 3 Aber wenn ich 1 einsetze soll 2 raus kommen würde das nicht passen Komme daher nicht auf das Polynom? |
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13.09.2021, 14:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Du sollst doch die Umkehrfunktion von f(x) interpolieren! Also irgendeine Funktion mit Ich würde es quadratisch machen, dann triffst Du auf jeden Fall alle drei Punkte exakt. Wenn Du es linear machen willst (z.B. über eine Regression), wirst Du einen Kompromiss eingehen müssen, hast es aber nachher leichter zu rechnen. Du bist dran. |
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13.09.2021, 14:53 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Wie mache ich das genau quadratisch Steffen? |
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13.09.2021, 14:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Du hast dann also eine Funktion der Form mit . Klar, oder? Jetzt setzt Du die drei Punkte ein, also z.B. den ersten mit und noch die beiden anderen. Dann hast Du drei Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c. |
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13.09.2021, 15:19 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Hi hier meine Rechnung als Foto Für c kommt ein komischer Wert raus? Fehler ? |
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13.09.2021, 15:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Bei Deiner zweiten Gleichung stimmt was nicht, wenn Du einsetzt, erhältst Du doch |
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13.09.2021, 16:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Da das eigentliche Newton-Verfahren auf einem ganz anderen Gebiet zuhause ist, meinst du hier womöglich die Newtonsche Polynominterpolation. Die läuft eigentlich über ein Differenzenschema:
Entlang der Diagonale gelesen bekommt man dann die Koeffizienten und der Newtonpolynom-Darstellung . Kann man natürlich auch noch ausmultiplizieren, wenn man die Standardform haben will, aber wenn ich die Aufgabenstellung richtig lese, ist das hier nicht mal gefordert. Selbstverständlich muss dann dasselbe rauskommen, wie mit der Gleichungssystemmethode, denn das Polynom ist ja eindeutig. |
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13.09.2021, 18:17 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ich probiere es jetzt trotzdem noch über den anderen Weg . Auf jeden Fall danke Hal9000 Alles richtig soweit? |
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13.09.2021, 19:09 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Verstehe aber nicht hier wie du das genau berechnet hast ? Also die Werte 0, - 1/8 , -1 |
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13.09.2021, 19:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ich hab die Rechenschritte aufgeschrieben - wenn du das mit dem Rechenschema abgleichst (DU hast ja von Newton gesprochen statt von bloßer Polynominterpolation, daher nehme ich an, du hast das kennengelernt), sollte es klar werden. Ich werd den Teufel tun, das bis zum Erbrechen auseinanderzunehmen. Lös doch erstmal dein GLS auf, sieht doch bisher gut aus. |
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13.09.2021, 19:27 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Die Ergebnisse wirken schlecht: 8c = 18 c= 9/4 1.5b +1.25*9/4 = 2.25 b= 3/8 a=3/8 ? |
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13.09.2021, 21:06 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Hm.
Hm. |
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13.09.2021, 22:01 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Erkennst du den Fehler Steffen? Ich erkenne ihn nicht |
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14.09.2021, 09:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Bei : Vorzeichen!!! |
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14.09.2021, 17:54 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Neue Ergebnisse ? c= 9/4 b= - 3/8 a = - 1 /8 Besser ? |
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14.09.2021, 17:58 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Prima! Der Wert der Umkehrfunktion an der Stelle Null verrät Dir nun, an welcher Stelle die Ursprungsfunktion den Wert Null hat, nämlich... |
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14.09.2021, 18:10 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
ja aber wie bist du auf die Kurve gekommen ? c = 9/4 = 2.25 Das ist wo der Punkt 0 ist Warum haben wir die Punkte a und b berechnet ? Verstehe noch nicht ganz den Nutzen sorry |
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15.09.2021, 09:34 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ich hab a, b und c in eingesetzt und grafisch dargestellt.
Genau, und damit ist das angenähert die in ii. gefragte Nullstelle von f(x). Wenn man bei der Umkehrfunktion Null einsetzt, erhält man grundsätzlich die Nullstelle der eigentlichen Funktion. Grafisch ist das ein Vertauschen der beiden Achsen.
Was sollten wir tun? Das war von der Aufgabe in Teil i. so verlangt. Wir sollten die Umkehrfunktion interpolieren. Das hast Du nun erfolgreich getan. Du hättest, wie gesagt, auch eine Gerade durchlegen können, das Polynom muss laut Text nicht unbedingt vom Grad 2 sein. Am einfachsten wäre es dann gewesen, die drei Punkte dick auf Papier zu malen und einen Bleistift so gut wie möglich als Ausgleichsgerade drüberzulegen. Die Funktion dazu ist dann auch schnell gefunden. Und auch dann wäre der Wert bei Null die gesuchte Zahl gewesen.
Ziel war ja, die Nullstelle der Funktion f(x) herauszufinden, die durch die Tabellenwerte gegeben ist. Wie Du siehst, ist die bei 1 noch positiv, bei 2,5 ist sie negativ. Also liegt die Nullstelle irgendwo dazwischen. Man hätte die Nullstelle natürlich auf viele andere Arten suchen können. Diese ist eine davon, durchaus etwas ungewöhnlich, aber dient wohl auch der Übung. Viele Grüße Steffen |
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15.09.2021, 09:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Für die Altvorderen, die sich noch ohne Taschenrechner/Computer mit Tafelwerken rumplagen mussten, war eine solche quadratische Interpolation zwischen drei aufeinander folgenden Tabellenwerten nicht ungewöhnlich: Gut, sehr oft hat auch lineare Interpolation genügt, aber für gehobene Genauigkeitsansprüche musste es dann auch schon mal eine quadratische Interpolation sein. |
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15.09.2021, 10:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Das Ungewöhnliche war hier, zumindest für mich, dass man die Umkehrfunktion interpoliert und über deren Abszissenabschnitt auf die gesuchte Nullstelle schließt. Das ist schon etwas durch die Brust ins Auge. |
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15.09.2021, 10:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Bei Quantilberechnungen der Standardnormalverteilung tritt genau sowas auf: Tabelliert war gewöhnlich ja nur die Verteilungsfunktion , deren Umkehrfunktion ja die Quantilfunktion ist. |
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15.09.2021, 12:29 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Was mache ich bei der ii) jetzt? |
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15.09.2021, 12:39 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ich glaube, das schrieb ich bereits:
Also hinschreiben. |
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15.09.2021, 14:31 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ja steffen aber wie komme ich mit deiner Methode auf das Interpolationspolynom ? Die Methode von Hal9000 ist schnell aber für mich schwer zu verstehen leider |
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15.09.2021, 14:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Genauso, wie Du es bereits getan hast! Du hast doch
berechnet, damit ergibt sich das gesuchte Interpolationspolynom zu Das ist die Funktion, die exakt durch die gegebenen drei Punkte läuft, wie der Graph zeigt. |
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15.09.2021, 14:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Das ist nicht die Methode von HAL9000, sondern die originale Newton-Interpolationsmethode. Das besondere am Interpolationspolynom in dieser Newtonschen Darstellung ist, dass es wirklich schrittweise die Hinzunahme weiterer Punkte verkörpert: ist die konstante Funktion, indem einfach auf ganz fortgeschrieben wird. ist die lineare Funktion, die und durch eine Gerade verbindet ist dann die quadratische Funktion, die , und durch eine Parabel verbindet. Und so könnte man jetzt relativ leicht evtl. weitere Punkte der Umkehrfunktion anfügen, für als kubisches Polynom usw. |
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15.09.2021, 14:46 | MrFingers | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ah ok .Danke euch beiden für die Mühe Ihr seid beide. überraschend Geduldig geblieben |
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15.09.2021, 15:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Bitte Threadtitel ändern, beispielsweise Newtonsche Interpolation 1 Erledigt. Steffen |
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