Bogenlänge einer Parabel

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mag24 Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Parabel
Hallo zusammen. Ich bin schon etwas länger aus der Schule raus, und das letzte mal das ich Differenzialgleichungen hatte ist ca. 15+ Jahre her.

Im Prinzip ist die Problematik wie folgt: Ich habe ein Loch von 2m Tiefe und 2m Breite über das ein "Brücke" gebaut werden soll. Legt man nun ein gerades Brett über das Loch und läuft drüber würde es sich recht stark durchbiegen Augenzwinkern
Um das Ganze "abzustützen" möchte ich einen Stütz-Bogen bauen. Dieser Bogen entspricht einer Parabel mit der Funktion 2x²
Nun brauche ich eine Stahl-Schiene der Länge: L die ich entsprechend dieser Parabel biegen. Die Frage ist nun wie groß ist "L" ? die Länge dieser Schiene.

So sollte wohl die Formel dafür sein:


Nur wie löse ich das Ganze ? Kann mir jemand weiterhelfen ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist etwas komplizierter. Dein Integral berechnet die Fläche unter dem Parabelhalbbogen.

Will man über dem Intervall die Länge des durch den Graphen der differenzierbaren Funktion bestimmten Kurvenstücks bestimmen, so muß man



berechnen. Das führt hier auf Areafunktionen, die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen.
mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok...
Wenn ich also einsetze dann bekommm ich doch:



Aber wie komme ich an ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Zitat:
Original von mag24
Wenn ich also einsetze dann bekommm ich doch:



Nicht ganz.

Zitat:
Original von mag24
Aber wie komme ich an ?


Du musst nicht an kommen, Du musst das Integral knacken. Ich empfehle unseren hauseigenen Integrierer.

Viele Grüße
Steffen
mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Stefen
... versteh ich nicht ... oder anders gesagt: da kommt nix (vernünftiges) bei raus
Nimmt man den Integrierer komme ich auf:


Damit bin ich also wieder am Anfang. Und ich muss ja erst mal auflösen damit ich mit dem Integral irgendwas anstellen kann

Btw, wäre meine Formale also eigentlich:
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mag24
Und ich muss ja erst mal auflösen damit ich mit dem Integral irgendwas anstellen kann


Nein, eben nicht. Du musst die Stammfunktion des Integranden (der Term zwischen dem Integralzeichen und dem dx) bestimmen, Ober- und Untergrenze einsetzen und die beiden Ergebnisse subtrahieren.

Und beim Herausfinden der Stammfunktion hilft Dir der Integrierer, falls Du da Schwierigkeiten hast.

Zitat:
Original von mag24
Btw, wäre meine Formale also eigentlich:


Ja, wie gesagt. Du brauchst also die Stammfunktion von
 
 
mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

also ...


eingesetzt x=2:



Aber irgendwie kann das nicht stimmen. Packt man mal den Pythagoras aus (dx=dy) ... bei r=2 ist die Hypotenuse gerade mal 2.828 geschockt
Ja, L ist größer als die Hypo ... aber 3 Mal ?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

das sind deine Ausgangsbedingungen

Zitat:
Ich habe ein Loch von 2m Tiefe und 2m Breite über das ein "Brücke" gebaut werden soll. Legt man nun ein gerades Brett über das Loch und läuft drüber würde es sich recht stark durchbiegen Augenzwinkern Um das Ganze "abzustützen" möchte ich einen Stütz-Bogen bauen. Dieser Bogen entspricht einer Parabel mit der Funktion 2x²


Ich bin davon ausgegangen, dass deine Brücke symmetrisch über dem Loch angeordnet ist. Dann sieht die Situation so aus:

[attach]53618[/attach]

Wenn meine Überlegungen stimmen sollten, dann würde ich an deiner Stelle die Ausgangsbedingungen verändern. Vielleicht den Brückenbogen als Teil der Parabel:

Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mag24
bei r=2 ist die Hypotenuse gerade mal 2.828


Ich hab da

Zitat:
Original von mag24
Ja, L ist größer als die Hypo ... aber 3 Mal ?


Das passt doch:

mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bürgi
Guten Morgen,

das sind deine Ausgangsbedingungen

Zitat:
Ich habe ein Loch von 2m Tiefe und 2m Breite über das ein "Brücke" gebaut werden soll. Legt man nun ein gerades Brett über das Loch und läuft drüber würde es sich recht stark durchbiegen Augenzwinkern Um das Ganze "abzustützen" möchte ich einen Stütz-Bogen bauen. Dieser Bogen entspricht einer Parabel mit der Funktion 2x²


Ich bin davon ausgegangen, dass deine Brücke symmetrisch über dem Loch angeordnet ist. Dann sieht die Situation so aus:


Das ist korrekt Freude

Zitat:

[attach]53618[/attach]

Wenn meine Überlegungen stimmen sollten, dann würde ich an deiner Stelle die Ausgangsbedingungen verändern. Vielleicht den Brückenbogen als Teil der Parabel:


Ja genau. Der Brückenbogen ist der (hier) schwartz eingezeichnete Teil der Parabel.

Zitat:


Aww ... da komm ich nicht mit. Wie kommst du auf dieses ?? ... Aber, siehe noch meine Antwort an Steffen Erstaunt2
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mag24
Der Brückenbogen ist der (hier) schwartz eingezeichnete Teil der Parabel.

Dann stimmen Deine Grenzen nicht. Statt 0 und 2 musst Du -1 und 1 einsetzen. Oder 0 und 1 und das Ergebnis symmetriebedingt verdoppeln.
mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von mag24
bei r=2 ist die Hypotenuse gerade mal 2.828


Ich hab da

Zitat:
Original von mag24
Ja, L ist größer als die Hypo ... aber 3 Mal ?


Das passt doch:



Hallo Steffen. Erst mal ein großes Sorry, ich hab da 'n Fehler in meiner Gleichung Tränen Den hab ich erst duch Bürgi's post entdeckt.
Dir Formel muss lauten:


Wie man in Bürgi's Plott sieht, geht der Bereich ja (nur) von 0 bis 1 ... und nicht 2 (auf der X-Achse)
Setzt man jetzt den Wert ein, kommt:


(Da es ja hier um die reine Länge geht ist 'C' nicht relevant)

Noch mal kurz den Pythagoras ...

Edit (mY+):
Link zu ImageShack entfernt, externe Uploadseiten sind unerwünscht!
Hänge stattdessen die Grafik an deinen Beitrag an!


[attach]53632[/attach]

und c < L ... passt Big Laugh ... oder lieg ich da falsch ? geschockt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mag24
Wie man in Bürgi's Plott sieht, geht der Bereich ja (nur) von 0 bis 1


Ok, wenn Dein Stützbogen wirklich so aussieht:

[/quote]

Diese Kurve hat in der Tat die Länge 2.323...

Ich hab nicht viel Ahnung von sowas und kann mir auch nicht vorstellen, wie dieses krumme Ding ein Brett über einem Loch abstützen soll, aber es scheint ja zu passen.

Viele Grüße
Steffen
mag24 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal zusammengefasst ... für die Akten Augenzwinkern


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