Ungleichung abschätzen

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ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung abschätzen
Hallo zusammen,

ich möchte herausfinden, für welche natürlichen Zahlen die Ungleichung gilt.
Ich habe es bisher so gemacht:
.

Das ist mir aber zu grob. GeoGebra sagt mir, das ginge für .
Wie komme ich in diese Nähe?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung abschätzen
Durch Betrachtung der Funktion und ihrer beiden ersten Ableitungen für reelle kann man zeigen, wenn die Relation für ein gilt, dann gilt sie für alle . Man rechnet numerisch aus, dass die Beziehung für gilt, aber noch nicht für .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt auch erstmal, dass für jede Lösung notwendig (!) , umgestellt bzw. gelten muss. Daher kann man mit der Suche auch erst bei beginnen, und bei 70 hat man dann eben Erfolg - da hält sich das Probieren ja noch in Grenzen. Und mit der ersten Ableitung von Huggys kann man alles wasserdicht begründen (auf die zweite kann verzichtet werden, zumindest bei dieser Variante).
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr beiden,

wow, das sind ja wieder tolle Ansätze! Ich danke euch sehr dafür und kann sie auch direkt nachvollziehen.

Allerdings kam das Thema Ableitungen auf dem mir vorliegenden Übungsblatt (Nachhilfe) noch nicht vor. Von daher frage ich mich, ob es einen weniger fortgeschrittenen Weg geben muss.

Ihr habt mir aber schon sehr geholfen! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung ist nur ein bequemer Weg um zu zeigen, dass (zumindest für ) streng monoton fallend ist.

Geht aber auch ohne: Es ist , wobei beide Terme und für streng monoton wachsend und positiv sind, damit ist auch ihr Produkt streng monoton wachsend und positiv, und folglich streng monoton fallend.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Um es noch etwas einzugrenzen. Nach HAL ist notwendig. Dann ist

Damit kann man deine Initialidee verfeinern zu .

Und .

D.h. die stärkere Ungleichung gilt ab . D.h. irgendwo zwischen und ist die Magie.
 
 
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird genau der Weg sein, der gesucht ist.

Super! Danke sehr! Freude
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Die Ableitung ist nur ein bequemer Weg um zu zeigen, dass (zumindest für ) streng monoton fallend ist.

Geht aber auch ohne: Es ist , wobei beide Terme und für streng monoton wachsend und positiv sind, damit ist auch ihr Produkt streng monoton wachsend und positiv, und folglich streng monoton fallend.


Hallo HAL,

sorry dass ich mich jetzt erst melde. Dein Beitrag ist mir gestern entgangen, ich finde diesen Weg ganz wundervoll. Dankesehr!
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