Ungleichung abschätzen

13.09.2021, 17:30

Malcang

Ungleichung abschätzen

Hallo zusammen,

ich möchte herausfinden, für welche natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2n^{\frac{5}{6}} + 1 < n \end{eqnarray*}$ gilt.
Ich habe es bisher so gemacht:
$\begin{eqnarray*} 2n^{\frac{5}{6}} + 1 < 3n^{\frac{5}{6}} \stackrel{!}{<}n \Leftrightarrow n>3^6 \end{eqnarray*}$ .

Das ist mir aber zu grob. GeoGebra sagt mir, das ginge für $\begin{eqnarray*} n\geq 70 \end{eqnarray*}$ .
Wie komme ich in diese Nähe?

13.09.2021, 18:04

Huggy

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RE: Ungleichung abschätzen
Durch Betrachtung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{\frac{5}{6}} + 1 -x \end{eqnarray*}$ und ihrer beiden ersten Ableitungen für reelle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ kann man zeigen, wenn die Relation für ein $\begin{eqnarray*} n_0\geq 22 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt sie für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ . Man rechnet numerisch aus, dass die Beziehung für $\begin{eqnarray*} n_0=70 \end{eqnarray*}$ gilt, aber noch nicht für $\begin{eqnarray*} n_0=69 \end{eqnarray*}$ .

13.09.2021, 18:56

HAL 9000

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Aus $\begin{eqnarray*} n > 2n^{\frac{5}{6}}+1 > 2n^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ folgt auch erstmal, dass für jede Lösung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ notwendig (!) $\begin{eqnarray*} n > 2n^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{6}} > 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n > 2^6 = 64 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Daher kann man mit der Suche auch erst bei $\begin{eqnarray*} n=65 \end{eqnarray*}$ beginnen, und bei 70 hat man dann eben Erfolg - da hält sich das Probieren ja noch in Grenzen. Und mit der ersten Ableitung von Huggys $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann man alles wasserdicht begründen (auf die zweite kann verzichtet werden, zumindest bei dieser Variante).

13.09.2021, 18:58

Malcang

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Hallo ihr beiden,

wow, das sind ja wieder tolle Ansätze! Ich danke euch sehr dafür und kann sie auch direkt nachvollziehen.

Allerdings kam das Thema Ableitungen auf dem mir vorliegenden Übungsblatt (Nachhilfe) noch nicht vor. Von daher frage ich mich, ob es einen weniger fortgeschrittenen Weg geben muss.

Ihr habt mir aber schon sehr geholfen! smile

13.09.2021, 19:08

HAL 9000

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Die Ableitung ist nur ein bequemer Weg um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (zumindest für $\begin{eqnarray*} x>64 \end{eqnarray*}$ ) streng monoton fallend ist.

Geht aber auch ohne: Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - \left(x^{\frac{1}{6}}-2\right)\cdot x^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ , wobei beide Terme $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{6}}-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>64 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und positiv sind, damit ist auch ihr Produkt streng monoton wachsend und positiv, und folglich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend.

13.09.2021, 19:18

IfindU

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Um es noch etwas einzugrenzen. Nach HAL ist $\begin{eqnarray*} n > 64 \end{eqnarray*}$ notwendig. Dann ist $\begin{eqnarray*} 1 < \frac 1 {32} n^{5/6} \end{eqnarray*}$

Damit kann man deine Initialidee verfeinern zu $\begin{eqnarray*} 2n^{5/6} + 1 < 2n^{5/6} + \frac 1 {32} n^{5/6} = \frac { 65}{32}n^{5/6} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} \frac { 65}{32}n^{5/6} < n \iff \left(\frac { 65}{32}\right)^6 < n \iff 71 \leq n \end{eqnarray*}$ .

D.h. die stärkere Ungleichung gilt ab $\begin{eqnarray*} n \geq 71 \end{eqnarray*}$ . D.h. irgendwo zwischen $\begin{eqnarray*} 65 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 71 \end{eqnarray*}$ ist die Magie.

13.09.2021, 19:34

Malcang

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Das wird genau der Weg sein, der gesucht ist.

Super! Danke sehr! Freude

14.09.2021, 09:54

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Ableitung ist nur ein bequemer Weg um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (zumindest für $\begin{eqnarray*} x>64 \end{eqnarray*}$ ) streng monoton fallend ist.

Geht aber auch ohne: Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - \left(x^{\frac{1}{6}}-2\right)\cdot x^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ , wobei beide Terme $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{6}}-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{\frac{5}{6}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>64 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und positiv sind, damit ist auch ihr Produkt streng monoton wachsend und positiv, und folglich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend.

Hallo HAL,

sorry dass ich mich jetzt erst melde. Dein Beitrag ist mir gestern entgangen, ich finde diesen Weg ganz wundervoll. Dankesehr!

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