Sigma-Algebra und Satz von Tonelli

14.09.2021, 12:12	Lisa A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra und Satz von Tonelli Hallo kann mir jemand vor allem beim ersten Teil dieser Übung helfen? Ich habe es so gemacht: $\begin{eqnarray} D \in [0,1]x[0,1] \subset B\mathbb R x B\mathbb R \end{eqnarray}$ nach Definition und dann $\begin{eqnarray} D \in B\mathbb R x B\mathbb R \end{eqnarray}$ . Kann man das so einfach lösen? Beim zweiten Teil habe ich unendlich erhalten, aber ich bin mir unsicher. Kann das stimmen? ------- Betrachte die Maßräume $\begin{eqnarray} ([0; 1]; B\mathbb R ;l) \end{eqnarray}$ y $\begin{eqnarray} ([0; 1]; B\mathbb R ; v) \end{eqnarray}$ , wo l das Lebesgue-Maß ist und v das Zählmaß Es sei $\begin{eqnarray} D = {(x, x) : x \in [0, 1]}. \end{eqnarray}$ 1. Zeige, dass $\begin{eqnarray} D \in B\mathbb R \otimes B\mathbb R \end{eqnarray}$ 2. Berechne $\begin{eqnarray} \int_{[0,1]} \int_{[0.1]} \! 1_D(x,y) \, dl(x)dv(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{[0,1]} \int_{[0.1]} \! 1_D(x,y) \, dv(y)dl(x) \end{eqnarray}$ Geben Sie an, ob das Erhaltene mit dem Satz von Tonelli übereinstimmt und begründen Sie Ihre Antwort eindeutig.
14.09.2021, 12:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend meinst du $\begin{eqnarray} D = \left\{ (x, x):\; x \in [0,1]\right\} \end{eqnarray}$ (LaTeX-Fehler). Bei 1) würde ich so vorgehen: Definiere $\begin{eqnarray} D_n := \bigcup_{k=1}^{2^n} \left[ \frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n} \right]\times \left[ \frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n} \right] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=0,1,\ldots \end{eqnarray}$ , dann ist das eine monoton fallende Mengenfolge mit Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} D_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} D_n = D \end{eqnarray}$ . Da alle $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathcal{B}\times \mathcal{B} \end{eqnarray}$ liegen, tut es ihr abzählbarer Durchschnitt ebenfalls. Die Argumentation einfach per $\begin{eqnarray} D = \bigcup_{x\in [0,1]} \{x\}\times \{x\} \end{eqnarray}$ funktioniert ja nicht, da diese Vereinigung überabzählbar ist. Ein Hinweis zu 2) Tonelli ist hier nicht anwendbar, da dein Zählmaß $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ bezogen auf den Grundraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ oder auch nur $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -endlich ist.
14.09.2021, 14:39	Lisa A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das hat mir sehr weitergeholfen, ich habe die Lösung jetzt, DANKE! Hast du meinen anderen Post "Reguläres Maß" gesehen? Da habe ich bisher noch garkeine Idee, wie ich die Sache angehen könnte.
14.09.2021, 15:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu muss ich mich erstmal belesen, was das ist "regulär" in Bezug auf Maße - hatte damit noch nie zu tun. Hmmm.

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