Reguläres Maß

14.09.2021, 13:00	Lisa A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Reguläres Maß Hallo Kann mir jemand bei dieser Übungs-Aufgabe helfen? Ich kenne die Definition für ein reguläres Maß, aber habe es in diesem Fall nicht geschafft es zu beweisen. Ich bin dankbar für jegliche Hilfe! LG Lisa ----- Betrachte ( $\begin{eqnarray} \mathbb R ,B_L , l \end{eqnarray}$ ) das Lebesgue-Maß, y $\begin{eqnarray} f \in L^{1} (\mathbb R ,B_L , l) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass das Maß $\begin{eqnarray} v:B_{L}\rightarrow [0,\infty ) \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} v(E) = \int_{E} \! \|f\| dl \end{eqnarray}$ ein reguläres Maß ist.
14.09.2021, 19:48	Lisa A.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reguläres Maß Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} v(E)=\int_E \|f\| dl = \int_{a,b}\|f\| dl \end{eqnarray}$ Laut Definition v(E) = inf {v(A) / E $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ A, A als offene Menge der $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ } , wobei $\begin{eqnarray} E \subset \mathbb R \end{eqnarray}$
14.09.2021, 20:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reguläres Maß Nach Definition ist $\begin{eqnarray} \nu(E) \end{eqnarray}$ als das Integral von $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ definiert, nicht als Approximation. D.h. du musst $\begin{eqnarray} \nu(E) = \inf \{ \nu(A) \| E \subset A, A \text{ offen} \} \end{eqnarray}$ nachweisen. Nun ist das Lebesgue-Maß regulär, d.h. es gibt für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein offenes $\begin{eqnarray} A\supset E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda( A \setminus E_n) < \epsilon \end{eqnarray}$ . Damit kann man folgern, dass es eine absteigende Folge von $\begin{eqnarray} (A_n) \end{eqnarray}$ offen gibt mit $\begin{eqnarray} A_n \supset A_{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda ( A_n \setminus E ) < \frac 1 n \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} \nu(A_n) = \int_E \|f\| d \lambda + \int_{A_n \setminus E}\|f\| d \lambda = \nu(E) + \int_{\mathbb R}\|f\|\cdot\chi_{A_n \setminus E} d \lambda \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} A_n \to E \end{eqnarray}$ im Sinne der Maßkonvergenz, und monoton ist, folgt die punktweise Konvergenz der Indikatorfunktion.
15.09.2021, 18:24	Lisa A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Reguläres Maß Dankeschön für die schnelle Antwort Nur leider verstehe ich die vorletzte Zeile (mit den Integralen) nicht so ganz. Also wie du von den obigen Voraussetzungen dann darauf gekommen bist.
15.09.2021, 19:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reguläres Maß Die Zeile mit den Integralen sind nur elementare Eigenschaften von Integralen und Definition des Maßes. Alles drum herum ist nur: "Warum verschwindet der letzte Term für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ ".

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