Identität Matrizen

14.09.2021, 16:55	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität Matrizen In einem Script zu einer theoretischen Physikvorlesung, welches ich mir gerade zu Gemüte führe steht: Wir definieren die Matrix $\begin{eqnarray} \Omega := a^T \dot{a} \end{eqnarray}$ . Offensichtlich gilt $\begin{eqnarray} \Omega^T = \dot{a}^T a \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} a \cdot a^T = \mathbf{1} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \dot{a}\cdot a^T + a \cdot \dot{a}^T = 0 \end{eqnarray}$ Dabei bezeichne $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Drehmatrix und $\begin{eqnarray} \mathbf{1} \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix. Außerdem meint der Punkt über der Matrix wie üblich bei den Physikern, die Ableitung nach der Zeitvariable $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ (Die Drehmatrix $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ hängt von der Zeit ab) Leider erschließt sich mir diese Identität nicht. Wer kann Sie mir beweisen? Bzw. beim Beweis auf die Sprünge helfen? Liebe Grüße Verrain
14.09.2021, 17:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird schlicht und einfach die Gleichung $\begin{eqnarray} a \cdot a^T = \mathbf{1} \end{eqnarray}$ nach der Zeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ abgeleitet: Da rechts eine konstante Matrix steht, ist diese Ableitung gleich der Nullmatrix. Und links ist natürlich bei der Ableitung die Produktregel zu beachten.
15.09.2021, 10:16	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte das Script allerdings in soweit verstanden, dass die Drehmatrix $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ allgemein zeitabhängig ist, da Sie in einem konkreten Beispiel ein sich mit der Zeit drehendes Koordinatensystem beschreibt (also ein Nicht-Intertialsystem). Dann ist die Ableitung doch nicht mehr automatisch die Nullmatrix...
15.09.2021, 10:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast meinen Beitrag leider nicht bzw. sehr oberflächlich gelesen. Nochmal ausführlichst: Es wird $\begin{eqnarray} a \cdot a^T = \mathbf{1} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ abgeleitet, es ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd t}\left( a \cdot a^T \right) = \frac{\dd}{\dd t} \mathbf{1}\qquad () \end{eqnarray}$ . Links muss dazu die Produktegel angewandt werden, d.h $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd t}\left( a \cdot a^T \right) = \left(\frac{\dd}{\dd t} a\right) \cdot a^T + a\cdot \frac{\dd}{\dd t}\left( a^T \right) = \dot{a}\cdot a^T + a\cdot \dot{a}^T \end{eqnarray}$ . Rechts wird die von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ unabhängige (!) Matrix $\begin{eqnarray} \mathbf{1} \end{eqnarray}$ abgeleitet: $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd t} \mathbf{1} = \mathbf{0} \end{eqnarray}$ . Gemäß () ergibt das dann eben $\begin{eqnarray} \dot{a}\cdot a^T + a\cdot \dot{a}^T = \mathbf{0} \end{eqnarray}$ .
15.09.2021, 16:30	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja, da stand ich auf dem Schlauch. Ich danke dir!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »