Newton-Verfahren

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Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren
Hey Leute habe soweit gerechnet :

h`(x) = x^3 -2x -2 -x +4


Eine Nullstelle x= 1

Wie komme ich auf die anderen zwei ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Verfahren
Ich fürchte, Du hast die Nullstelle geraten und nicht mit Newton gefunden.

Aber zumindest hast Du schon mal Teil a gelöst, auch wenn man die Gleichung noch vereinfachen kann.

Nun wende darauf das Newton-Verfahren an, um die Nullstelle zu finden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung zur Aufgabenstellung: Wenn man nur minimiert, dann betrachtet man nur eine Teilmenge von Verbindungsstraßen, nämlich solche parallel zur -Achse. I.a. wird es eine "schräge" Verbindungsstraße geben, die noch kürzer ist - sieht man dem Graphen schon an:

Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

Die sagen in der b) zwei Schritte zu nehmen?
Einmal muss ich 0 einsetzen in f'(x) und ausrechnen, aber was setze ich zum zweiten Mal ein?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so, sondern nach der im Link erwähnten Formel



mit Deinem (bzw. vereinfacht) sowie einfach und ausrechnen. Sollte immer näher an die 1 gehen.
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »





Habe. denke ich wieder ein Fehler drin böse

Bei x_2?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyr33


Aber nein. Weder ist noch ist

Wie hast Du da gerechnet?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist doppelte Nullstelle von , und von daher auch gar nicht die Minimumstelle von . Es kommt noch hinzu, dass in einem solchen Fall das Newton-Verfahren nur langsam konvergiert (lineare statt quadratische Konvergenzgeschwindigkeit).

Bei der tatsächlichen (einfachen) Nullstelle -2 geht es flotter zuwege.
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von Cyr33


Aber nein. Weder ist noch ist

Wie hast Du da gerechnet?



h(x) = 1/4*x^4 -x^2 -2x +8 -1/2 x^2 +4x.

h(0) = 8 ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Nein, Du suchst nicht die Nullstelle von h(x). Die gibt es ja auch laut Aufgabentext gar nicht, denn die beiden Straßen haben nie den Abstand Null.

Du willst h(x) minimieren, suchst also die Nullstelle von h'(x). Das habe ich hier f(x) genannt und Du hast es ja auch schon hingeschrieben. Also...
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

h`(x) = x^3 -2x -2 -x +4

h`(0) =4?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens: Vereinfache zu .. = x^3 - 3x + 2 (!)
Zweitens: Die Nullstelle ist NICHT bei x = 0, sondern (allg.) bei f(x) = 0, sie ist also jenes x, bei dem f(x) = 0 ist (f(x) ist gleichsam y)
Das wird erfahrungsgemäß immer wieder verwechselt!

mY+
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyr33
h`(x) = x^3 -2x -2 -x +4

h`(0) =4?


Nein. Rechne noch mal nach.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
Die Aufgabe ist offenbar falsch gestellt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ

Ja, wenn man den Aufgabentext wortwörtlich nimmt, dann ist bzgl. zu minimieren. Na tun wir das doch mal:





.

Die Lösung des GLS ist schon einigermaßen haarig. Wenn ich das mal durchs CAS jage und all die Extremwertkandidaten prüfe, dann bleibt am Ende als globale Minimumstelle übrig.

P.S.: Wegen Steffens sorgenvoller Anmerkung stelle ich nochmal klar: Dies ist hier die Lösung des Originalproblems, wenn man den Aufgabentext ernst nimmt - es ist NICHT die Lösung für die optimale Straße parallel zur y-Achse, die mit dem hier verfolgten Ansatz gesucht wird. Augenzwinkern
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von Cyr33
h`(x) = x^3 -2x -2 -x +4

h`(0) =4?


Nein. Rechne noch mal nach.



Merke es gerade 2 Big Laugh

Und jetzt ?

War echt nah dran aufzugeben
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, h'(0)=2.

Nun brauchen wir noch h''(0), denn Newton will ja die Ableitung im Nenner. Also noch mal ran.

NB: Ich bitte alle werten Kollegen, sich mit Kommentaren zurückzuhalten, bis die Aufgabe erledigt ist. Es irritiert doch sehr.
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe alles noch mal schön

h`(x) = x^3 -2x -2 -x +4

h`(0) = 2





Wie geht es weiter ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut!

Was kommt also mit der erwähnten Formel



für heraus? Und was danach für ?
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »










h`(2/3 ) = 8/27

h´´(2/3) = -1.67

Man solche Ergebnisse nerven Big Laugh

Was sagst du zu den Ergebnissen Steffen ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig!

Viele Grüße
Steffen
Cyr33 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin selbst überrascht Big Laugh

Dann haben wir es geschafft Big Laugh

Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Threadtitel darf (ausnahmsweise) bleiben, denn hier geht es wirklich um das Newton-Verfahren. Augenzwinkern
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
@RavenOnJ

Ja, wenn man den Aufgabentext wortwörtlich nimmt, dann ist bzgl. zu minimieren. Na tun wir das doch mal:



Alternativ könnte man auch eine Gerade suchen, die auf und senkrecht steht. Vielleicht läßt sich damit der Rechenaufwand reduzieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Vielleicht läßt sich damit der Rechenaufwand reduzieren.

Spontan würde ich sagen: Nein.

Aber wie immer lasse ich mich gern vom Gegenteil überzeugen, denn in meiner Einschätzung habe ich mich vom "Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit" leiten lassen, und bei dem kann man ja auch bisweilen reinfallen. Augenzwinkern
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Vielleicht läßt sich damit der Rechenaufwand reduzieren.

Spontan würde ich sagen: Nein.

Da hast Du ein weiteres Mal recht. Ich habe es ausprobiert. Man kommt auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die nicht weniger kompliziert sind. Tränen
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