Tensorprodukt und Determinantendarstellung

15.09.2021, 12:44	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt und Determinantendarstellung Ich kann leider das Tensorprodukt, bzw. Determinantendastellung des Produkts zweier Epsilon-Tensoren nicht nachvollziehen (habe leider nicht täglich mit solcher Mathematik zu tun): $\begin{eqnarray} \varepsilon_{i j k} \varepsilon_{l m n}=\left\|\begin{array}{lll} \delta_{i l} & \delta_{i m} & \delta_{i n} \\ \delta_{j l} & \delta_{j m} & \delta_{j n} \\ \delta_{k l} & \delta_{k m} & \delta_{k n} \end{array}\right\| \end{eqnarray}$ Ich habe echt versucht aus den Scripten zur Tensoralgebra schlau zu werden, die ich so im Internet finde, aber ich blicke einfach nicht, wie die zwei Tensoren miteinander verrechnet werden. Seien $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ jeweils ein 3x3x3 Tensor 3. Stufe. Ist dann $\begin{eqnarray} AB = A\cdot B \end{eqnarray}$ ? Und wie verrechne ich dann beide? Wieso kommt da auf einmal eine Determinante bei heraus, so dass ja letztendlich nur ein Skalar übrig bleibt. Gibt es dazu irgendwo mal ein anschauliches Beispiel? Ich habe leider keins gefunden... Wenn wir dann schon bei der Tensoralgebra für Tensoren 3. Stufe sind: Kann ich beide auch Addieren? Wie ist diese Operation definiert? Liebe Grüße Verrain
15.09.2021, 13:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beste aller möglichen Vorlesungen zum Thema umfasst nur 12 Doppelstunden: https://timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_202...01_lineal2_0001 Man sollte nicht mit weniger zufrieden sein.
16.09.2021, 10:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein vesteht man unter einem Tensor 3.Stufe $\begin{eqnarray} T_{ijk} \end{eqnarray}$ im 3-dimensionalen Raum eine Menge von $\begin{eqnarray} 3^3=27 \end{eqnarray}$ Zahlen, mit deren Hilfe man 3 Vektoren $\begin{eqnarray} (a_1\|a_2\|a_3) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (b_1\|b_2\|b_3) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (c_1\|c_2\|c_3) \end{eqnarray}$ über folgende 3-fach-Summe einen Skalar zordnen kann gemäß $\begin{eqnarray} \text{Skalar}=T_{ijk}a_ib_jc_k \end{eqnarray}$ Diese 3-fache Summe hat 27 Summanden. Die 3 Summenzeichen lässt man wegen der besseren Übersichtlichkeit oft weg. ------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel: Das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, das von den 3 Vektoren $\begin{eqnarray} (a_1\|a_2\|a_3) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (b_1\|b_2\|b_3) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (c_1\|c_2\|c_3) \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, lässt sich mit dem Epsilon-Tensors $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ berechnen, dessen 27 Komponenten wie folgt definiert sind: $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon_{213}=\epsilon_{321}=\epsilon_{132}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=0 \end{eqnarray}$ sonst Das Volumen (=Skalar) eines 3-dimensionalen Paralleogrammes lautet demnach $\begin{eqnarray} V=\epsilon_{ijk}a_ib_jc_k=\underbrace{\epsilon_{123}}_1 \cdot a_1b_2c_3+\underbrace{\epsilon_{231}}_1\cdot a_2b_3c_1+\underbrace{\epsilon_{312}}_1 \cdot a_3b_1c_2+\underbrace{\epsilon_{213}}_{-1} \cdot a_2b_1c_3+\underbrace{\epsilon_{321}}_{-1} \cdot a_3b_2c_1+\underbrace{\epsilon_{132}}_{-1} \cdot a_1b_3c_2 \end{eqnarray}$ In Mathematikerkreisen bezeichnet man diese Summe auch als Determinante. ------------------------------------------------------------------------------------------------- Der Epsilon-Tensor kann auch mit Hilfe einer Determinante dargestellt werden, deren Elemente Kronecker-Deltas sind (Rechne das anhand von speziellen Indexkombationen mal nach!) $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Solche Epsilon-Tensoren kann man formal wie Matrizen multiplizieren $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{3j} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} \delta_{1l} & \delta_{1m} & \delta_{1n} \\ \delta_{2l} & \delta_{2m} & \delta_{2n} \\ \delta_{3l} & \delta_{3m} & \delta_{3n} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Bekanntlich gilt für Determinanten $\begin{eqnarray} \|A\|\cdot \|B\|=\|A \cdot B\| \end{eqnarray}$ . Wir schreiben also $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix}\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} & \delta_{i1}\delta_{1m}+\delta_{i2}\delta_{2m}+\delta_{i3}\delta_{3m} & \delta_{i1}\delta_{1n}+\delta_{i2}\delta_{2n}+\delta_{i3}\delta_{3n} \\ \delta_{j1}\delta_{1l}+\delta_{j2}\delta_{2l}+\delta_{j3}\delta_{3l} & \delta_{j1}\delta_{1m}+\delta_{j2}\delta_{2m}+\delta_{j3}\delta_{3m} & \delta_{j1}\delta_{1n}+\delta_{j2}\delta_{2n}+\delta_{j3}\delta_{3n} \\ \delta_{k1}\delta_{1l}+\delta_{k2}\delta_{2l}+\delta_{k3}\delta_{3l} & \delta_{k1}\delta_{1m}+\delta_{k2}\delta_{2m}+\delta_{k3}\delta_{3m} & \delta_{k1}\delta_{1n}+\delta_{k2}\delta_{2n}+\delta_{k3}\delta_{3n} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Jedes der 9 Matrixelement besteht aus eine Summe mit 3 Summanden. Aufgrund der Eigenschaft des Kronecker-Deltas bleibt jeweils nur ein Summand übrig und man hat das gewünschte Ergebnis $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix}\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist ein Tensor 6.Stufe.
08.07.2022, 14:40	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas verspätet, aber danke Ehos! Es hilft, einfach mal eine ausgeführte Beispieloperation zu sehen!

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