Tensorprodukt und Determinantendarstellung

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Verrain Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt und Determinantendarstellung
Ich kann leider das Tensorprodukt, bzw. Determinantendastellung des Produkts zweier Epsilon-Tensoren nicht nachvollziehen (habe leider nicht täglich mit solcher Mathematik zu tun):



Ich habe echt versucht aus den Scripten zur Tensoralgebra schlau zu werden, die ich so im Internet finde, aber ich blicke einfach nicht, wie die zwei Tensoren miteinander verrechnet werden.

Seien und jeweils ein 3x3x3 Tensor 3. Stufe. Ist dann ? Und wie verrechne ich dann beide? Wieso kommt da auf einmal eine Determinante bei heraus, so dass ja letztendlich nur ein Skalar übrig bleibt.

Gibt es dazu irgendwo mal ein anschauliches Beispiel? Ich habe leider keins gefunden... Wenn wir dann schon bei der Tensoralgebra für Tensoren 3. Stufe sind: Kann ich beide auch Addieren? Wie ist diese Operation definiert?

Liebe Grüße
Verrain
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die beste aller möglichen Vorlesungen zum Thema umfasst nur 12 Doppelstunden: https://timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_202...01_lineal2_0001
Man sollte nicht mit weniger zufrieden sein.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein vesteht man unter einem Tensor 3.Stufe im 3-dimensionalen Raum eine Menge von Zahlen, mit deren Hilfe man 3 Vektoren , , über folgende 3-fach-Summe einen Skalar zordnen kann gemäß



Diese 3-fache Summe hat 27 Summanden. Die 3 Summenzeichen lässt man wegen der besseren Übersichtlichkeit oft weg.

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Beispiel:
Das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, das von den 3 Vektoren , , aufgespannt wird, lässt sich mit dem Epsilon-Tensors berechnen, dessen 27 Komponenten wie folgt definiert sind:



sonst

Das Volumen (=Skalar) eines 3-dimensionalen Paralleogrammes lautet demnach



In Mathematikerkreisen bezeichnet man diese Summe auch als Determinante.
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Der Epsilon-Tensor kann auch mit Hilfe einer Determinante dargestellt werden, deren Elemente Kronecker-Deltas sind (Rechne das anhand von speziellen Indexkombationen mal nach!)



Solche Epsilon-Tensoren kann man formal wie Matrizen multiplizieren



Bekanntlich gilt für Determinanten . Wir schreiben also



Jedes der 9 Matrixelement besteht aus eine Summe mit 3 Summanden. Aufgrund der Eigenschaft des Kronecker-Deltas bleibt jeweils nur ein Summand übrig und man hat das gewünschte Ergebnis




Das ist ein Tensor 6.Stufe.
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