Ortskurve einer Funktionsschar ohne H.P. für alle Werte

15.09.2021, 21:55

LukasC

Ortskurve einer Funktionsschar ohne H.P. für alle Werte

Meine Frage:
Das überliegende Thema sind e-Funktionen. Hier ist die vom Lehrer gegebene Aufgabe folgende: es gibt die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3*e^x}{(1+e^x)^n} \end{eqnarray*}$ für alle Werte n > 0 und nur natürliche Zahlen.
Durch die Untersuchung des Globalverhaltens bin ich schon auf das Ergebnis gekommen, dass die Funktion für Werte n = 1 +? nach ? verläuft und nach 0 in -? (Kann das leider gerade nur eher hässich aufschreiben, da die Formel-Funktion hier nicht funktionieren möchte)
Für alle anderen Werte Verläuft es nach 0 in beide Richtungen.
Daraus kann ich also auch sagen, dass n=1 kein HP und alle anderen schon einen haben.
Jetzt ist die Aufgabe, daraus eine Ortskurve der Extrempunkte zu erstellen.
Heißt also in der Theorie, ableiten, gleich 0 setzen x-Wert entnehmen und y-Wert herleiten und dann den x-Wert auf Parameter umformen und dann in den y-Wert einsetzen. So viel zur Theorie
Hier ist jedoch das Problem, dass der CAS mir keine Ergebnisse ausspuckt wenn ich die Ableitung gleich null setze. Macht ja auch Sinn: Das stimmt so nicht für alle n-Werte. Wie kann ich das also jetzt doch lösen, auch wenn das nicht für alles zutrifft?

Meine Ideen:
Sind schon oben im Text integriert

15.09.2021, 22:20

Helferlein

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Wie wäre es mit händischem Ableiten? Die Regeln sollten Euch ja vermittelt worden sein und anscheinend hast Du einen Lehrer, der noch nicht dem Credo "Mit TR ist alles lösbar" angehört.

16.09.2021, 06:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Ortskurve einer Funktionsschar ohne H.P. für alle Werte

Zitat:

Original von LukasC
Meine Frage:
Das überliegende Thema sind e-Funktionen. Hier ist die vom Lehrer gegebene Aufgabe folgende: es gibt die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3*e^x}{(1+e^x)^n} \end{eqnarray*}$ für alle Werte n > 0 und nur natürliche Zahlen.

Vielleicht hilft es auch, die Wendepunkte zu suchen $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Aber zuerst sollte hier abgeleitet werden. $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{eqnarray*}$

16.09.2021, 07:30

adiutor62

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RE: Ortskurve einer Funktionsschar ohne H.P. für alle Werte
Zur Kontrolle:
https://www.ableitungsrechner.net/

16.09.2021, 13:06

mYthos

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Die Wendepunkte werden nicht viel bringen .. . Die Ableitung ist ein Produkt, bei dem nur ein Faktor Null werden kann. Überdies ist besser n > 1 anzusetzen.
---
Nach dem Nullsetzen der 1. Ableitung ergibt sich: $\begin{eqnarray*} e^x = \frac 1 {n-1} \end{eqnarray*}$ .
Nun beginnt der größere rechnerische Aufwand beim Einsetzen in die Funktionsgleichung und danach bei der Elimination des "Parameters" n (substituiere n und n-1).
Die Ortskurve lautet bei richtiger Rechnung:

$\begin{eqnarray*} h(x) = 3 \cdot e^x \cdot \left(\frac 1 {1+e^x}\right)^{\frac{1+e^x}{e^x}} \end{eqnarray*}$

[attach]53641[/attach]

mY+

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