Konvergenz Teilfolge in kompakter Menge

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Teilfolge in kompakter Menge
Hey Leute Wink

Mir ist eine Aussage unter gekommen, von der ich dachte, dass sie wahr sei. Allerdings hat sich herausgestellt, dass sie falsch ist, ich verstehe allerdings nicht warum. Könnt ihr mir ein geeignetes Gegenbeispiel nennen?

Aussage: Es sei eine kompakte Menge. Wir betrachten eine Folge . Dan konvergiert jede Teilfolge von und der Grenzwert der Teilfolge liegt wieder in .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Teilfolge in kompakter Menge
Die korrekte Aussage ist "Es gibt eine konvergente Teilfolge", nicht "Jede Teilfolge konvergiert". Such dir mal ein einfaches Beispiel in und einer divergenten Folge dadrin (Stichwort: Oszillierend).
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Teilfolge in kompakter Menge
Vielen Dank, ich habs verstanden! Die Folge liegt im kompakten Intervall [-1,1] und divergiert. Allerdings existieren Teilfolgen (Bsp. die Teilfolgen der geraden und der ungeraden Indizies), die innerhalb von M sogar konvergieren, aber das gilt nicht für alle Teilfolgen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Teilfolge in kompakter Menge
Korrekt Freude

Trivialerweise ist die ganze Folge auch eine Teilfolge. D.h. hier fordert man nichts weniger als, dass jede Folge konvergiert. Und das stimmt ja nicht, wie dein Beispiel belegt.
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