Satz von Liouville bei generalisierten Lotka-Volterra-System

16.09.2021, 18:52	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Liouville bei generalisierten Lotka-Volterra-System Hallo! Gegeben sei ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t} =\vec{F}(\vec{x}(t)) \end{eqnarray}$ . Im folgenden möchte ich nun die Evolution des Phasenraumvolumens $\begin{eqnarray} V=\prod\limits_{i}x_i \end{eqnarray}$ betrachten. Dieses kann durch den Satz von Liouville $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\oint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat n\ \mathrm{d}A=\int_{V}\vec\nabla\cdot\vec F\mathrm{d}V=\int_{V}\sum\limits_{i}\frac{\partial\dot x_{i}}{\partial x_i}\ \mathrm{d}V<br /> \end{eqnarray}$ berechnet werden. Wenn man letzteres integriert erhält man $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=V\sum\limits_{i}\frac{\dot x_{i}}{x_i} \end{eqnarray}$ , was notwendigerweise das gleiche Ergebnis ist wie bei Anwendung der Produkregel auf $\begin{eqnarray} V=\prod\limits_{i}x_i \end{eqnarray}$ . Allerdings wenn ich beide Formeln auf das generalisierte Lotka-Volterra-System $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}=\gamma_i x_i-\delta_i x_i^2+\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_{i}x_j \end{eqnarray}$ anwende, wobei c_{ij}>0, kommt nicht ganz das gleiche heraus. Mit der Produkregel komme ich auf: $\begin{eqnarray} \dot V=V\sum\limits_{i}\left(\gamma_i-\delta_i x_i-\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_j\right) \end{eqnarray}$ Mit dem Satz von Liouville Handel ich mir durch die Integration in dem ursprünglich nicht linearen Glied einen Faktor 1/2 ein. $\begin{eqnarray} <br /> \dot V=\int_{V}\sum\limits_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\gamma_i x_i-2\delta_i x_i^2+\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_i x_j\right)\ \mathrm{d}V<br /> <br /> \dot V=\int_{V}\sum\limits_{i}\left(\gamma_i-2\delta_i x_i+\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_j\right)\ \mathrm{d}V<br /> <br /> \dot V=\sum\limits_{i}\left(\gamma_i V-2\delta_i\cdot\frac{1}{2}x_i^2\prod\limits_{i\neq j}x_j+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\neq j}c_{ij}x_j^2\prod\limits_{j\neq k}x_k\right)<br /> <br /> \dot V=V\sum\limits_{I}(\gamma_i-\delta_i x_i)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i}\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_{j}<br /> <br /> \dot V=V\sum\limits_{i}\left(\gamma_i-\delta_i x_i+\frac{1}{2}\sum\limits_{j\neq i}c_{ij}x_j\right) \end{eqnarray}$ Übersehe ich irgendwas total banales? Falls dem so sein sollte Oder gibt es eine Einschränkung für die Gültigkeit des Satzes z. B. wegen der Nichtlinearität? Vielen Dank für Eure Unterstützung!
19.09.2021, 16:49	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand eine Idee wo mein Fehler liegt?
22.09.2021, 23:33	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist meine Frage so blöd? Oder ist die Fragestellung zu lang?

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