Erste Ableitung von f(x)=x-1

18.09.2021, 17:50

Benutzer121

Erste Ableitung von f(x)=x-1

Meine Frage:
f´(x)= x*(-1)^1-1=-1 --> wie komme ich auf diese Lösung? LG

Meine Ideen:
f´(x)=1 aus dem Lösungsteil

18.09.2021, 17:56

Helferlein

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Da läuft einiges schief. $\begin{eqnarray*} f(x)=x-1=x^1-1*x^0 \end{eqnarray*}$
Und dann nach Potenz- und Summenregel ableiten.

18.09.2021, 18:19

Benutzer121

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wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{1}-1\cdot x^{0} \end{eqnarray*}$ ?

18.09.2021, 21:30

Helferlein

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Weil $\begin{eqnarray*} x^1=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$

Wenn Dir das zu formal ist, dann hilft Dir vielleicht die Begründung, dass die Ableitung an einer Stelle die Steigung angibt. Die Steigumg einer linearen Funktion ist Dir aber schon in der Mittelstufe begegnet.

19.09.2021, 11:20

Benutzer121

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Hallo, wie geht das mit dem Potenz- und Summenformel ableiten?

23.09.2021, 17:57

Benutzer121

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Ich check das nicht so gut

23.09.2021, 19:43

Helferlein

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Es ist eigentlich ganz einfach: Durch die Potenzregel wandert der Exponent vor den Term und verringert sich anschließend um 1.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^5 \Rightarrow f'(x)=5*4x^{5-1}=20x^4 \end{eqnarray*}$
Die Summenregel besagt, fass diese Vorgehensweise für jeden Summanden einzelnd durchgeführt werden kann.

24.09.2021, 19:03

Benutzer121

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Danke, und wie komme ich jetzt auf f´(x)=1?

10.10.2021, 17:36

Benutzer121

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Ich warte immer noch auf eine Antwort?

10.10.2021, 17:44

G101021

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x gibt abgeleitet 1, 1 ergibt abgeleitet 0.
Wo ist noch ein Problem? verwirrt

10.10.2021, 17:47

Benutzer121

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und wie lautet die Ableitungsformel?

10.10.2021, 17:47

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (x-1)'=x'-1'=(x^1)'-0=1\cdot x^{1-1}=x^0=1 \end{eqnarray*}$

10.10.2021, 17:49

Bürgi

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Guten Tag,

das ist natürlich bedauerlich - aber Helferlein hat dir eine ausführliche Antwort gegeben:

Zitat:

Es ist eigentlich ganz einfach: Durch die Potenzregel wandert der Exponent vor den Term und verringert sich anschließend um 1. ...
Die Summenregel besagt, fass diese Vorgehensweise für jeden Summanden einzelnd durchgeführt werden kann.

Als Formel für eine Potenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n ~ \implies ~ f'(x) = n\ \cdot \ x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn Deine Funktion eine Summe von Potenzfunktionen ist, wird jeder Summand nach dieser Formel abgeleitet. Deine Aufgabe besteht nun darin, die Potenzfunktionen zu erkennen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - 1 ~ \implies ~ f(x) = x^1 - x^0 \end{eqnarray*}$ siehe Helferleins Anmerkungen!

Und nun jeden einzelenen Summanden mit der Formel ableiten.

10.10.2021, 17:57

Benutzer121

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Aber warum ist 1=0 also ich hätte $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{1-1} -1^{1-1}=1-1=0 \end{eqnarray*}$

10.10.2021, 18:07

G101021

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1=x^0 ( Alles hoch Nulll ergibt 1)
Helferlein hat dir das schon mitgeteilt.

f(x) = 1 = x^0

f'(x) = 0*x^(0-1) = 0*x^-1 = 0/x = 0

10.10.2021, 18:23

Benutzer121

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also $\begin{eqnarray*} f ^\prime(x)=0x^{0-1}=0x^{-1}=0/x=0? \end{eqnarray*}$

10.10.2021, 18:46

G101021

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Ja.

10.10.2021, 19:33

Elvis

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Nein.
$\begin{eqnarray*} x'=1,1'=0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} (x-1)'=x'-1'=1-0=1 \end{eqnarray*}$ .
Das Symbol $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ musst du nicht schreiben, es steht für eine beliebige Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und immer wieder für eine andere Funktion.
Weiter oben hast du $\begin{eqnarray*} 1=0 \end{eqnarray*}$ geschrieben, das ist ganz sicher falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} 1'=0 \end{eqnarray*}$ , weil die Ableitung einer Konstanten immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, also ist auch die Ableitung der Konstanten $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} 1'=0 \end{eqnarray*}$ .

10.10.2021, 19:59

Benutzer121

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Verstehe ich immer noch nicht ganz

10.10.2021, 20:30

rumar

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@G101021:
Die Konstante 1 zum Ableiten in der Form $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ zu schreiben, um dann mittels Potenzregel ableiten zu können, ist insofern ungeschickt, als das Ganze dann an der Stelle x=0 nicht funktioniert !
Wer das Konzept "Ableitung" verstanden hat, wird jedoch niemals versucht sein, so seltsame Umwege zu nehmen ...

10.10.2021, 21:46

HAL 9000

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Scheint ein Dauerproblem zu sein: Funktion ableiten und zusammenfassen

Aber in dem Thread damals erfolgte ja keine Rückmeldung. unglücklich

11.10.2021, 06:07

early

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Zitat:

Die Konstante 1 zum Ableiten in der Form x0 zu schreiben, um dann mittels Potenzregel ableiten zu können, ist insofern ungeschickt, als das Ganze dann an der Stelle x=0 nicht funktioniert !

Für didaktische Zwecke im Schulbereich halte ich es für geschickt und sinnvoll.
Das 0^0-Problem stellt sich in der Schule nicht.

11.10.2021, 08:16

Elvis

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Zu verstehen gibt es da nicht viel. Man muss sehen, dass die Steigung der konstanten Funktion überall gleich 0 ist. Das heißt 1'=0, irgendwelche Regeln stören da nur.

11.10.2021, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Benutzer121
Aber warum ist 1=0 also ich hätte $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{1-1} -1^{1-1}=1-1=0 \end{eqnarray*}$

Wenn man schon (vielleicht vom Wahnsinn befallen) den Term 1 ableiten will, indem man die Potenzableitungsregel auf $\begin{eqnarray*} 1^1 \end{eqnarray*}$ anwendet, na warum nicht - aber dann bitteschön auch unter Beachtung der Kettenregel! Was dann bedeutet:

$\begin{eqnarray*} {\color{blue}1}' = \left({\color{blue}1}^{{\color{red}1}}\right)' = {\color{red}1}\cdot {\color{blue}1}^{{\color{red}1}-1}\cdot {\color{blue}1}' = {\color{red}1}\cdot {\color{blue}1}^0\cdot {\color{blue}1}' = {\color{blue}1}' \end{eqnarray*}$

Hmm, hübsch im Kreis gelaufen: Das Unterfangen, die Ableitung einer Konstanten auf diese Weise zu berechnen, kann man wohl als gescheitert betrachten. Man sollte sich mit dem Gedanken vertraut machen, die Ableitung 0 einer Konstanten auf andere Weise merken zu müssen. Big Laugh

11.10.2021, 17:45

Luftikus

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Oder einfach mal den Differentialquotienten hinschreiben, für f(x)=a*x+c (hier a=1,c=-1:

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{h \to 0} \frac{a\cdot(x+h)+c - (a \cdot x + c)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{a\cdot h}{h} = a \end{eqnarray*}$

Das lässt sich auf beliebige Polynome verallgemeinern (als Ableitungsregel).

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