Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?

18.09.2021, 21:53

Studen1996

Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich habe ein Problem die Lösung einer Aufgabe nachzuvollziehen:

Die Funktion f:R^2->R f(x,y):=x^4 + y^4 ist gegeben und es soll gezeigt werden, dass f auf der Menge A={(x,y)?R^2 -x^2 + y^2=1} ihr Minimum annimmt und anschließend min f(A) berechnet werden.

Meine Ideen:
Mein Problem besteht darin, dass ich in meinem eigenen Ansatz einfach alle Extremstellen von f berechnet habe und keine von ihnen Element von A ist. (Habe nur (0,0) rausbekommen.)

In der Lösung wurde mit der Menge B:=Durchschnitt von A und ([-1,1]x[-1,1]) gearbeitet, die nach Heine-Borel kompakt ist und dementsprechend ein Minimum einnehmen muss und anschließend gezeigt, dass ein Minimum auf B Element von A sein muss. Wieso konnte ich diese mit meiner Methode nicht finden, habe ich eine Definition verwechselt? Oder handelt es sich um einen Tippfehler in der Aufgabe bei der Funktion f?

19.09.2021, 01:36

klauss

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?
Das globale Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ohne Einschränkung sieht man der Funktionsvorschrift gleich an, da es sich um eine Summe geradzahliger Potenzen handelt, die nur für (x,y) = (0,0) minimal 0 werden kann.

Die Berechnung der Minima über dem Einheitskreis kann man hier bewerkstelligen, indem man die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} y^{2} =1-x^{2} \end{eqnarray*}$ in die Funktionsvorschrift einsetzt und die Extremwertberechnung so auf den eindimensionalen Fall zurückführt. Damit erhält man alle 4 Lösungen.

Das ist natürlich ein rein pragmatischer Ansatz, sobald das Vorliegen der Voraussetzungen feststeht, vielleicht sollst Du Dich ja ganz anderer Methoden bedienen.

19.09.2021, 08:04

Huggy

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?

Zitat:

Original von klauss
Die Berechnung der Minima über dem Einheitskreis ...

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht eine Hyperbel? Ich lese da $\begin{eqnarray*} -x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2021, 08:55

Ulrich Ruhnau

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?

Zitat:

Original von Studen1996
Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich habe ein Problem die Lösung einer Aufgabe nachzuvollziehen:

Die Funktion f:R^2->R f(x,y):=x^4 + y^4 ist gegeben und es soll gezeigt werden, dass f auf der Menge A={(x,y)?R^2 -x^2 + y^2=1} ihr Minimum annimmt und anschließend min f(A) berechnet werden.

Zunächst mal beschreibt man so $\begin{eqnarray*} f:R^2\to R f(x,y):=x^4 + y^4 \end{eqnarray*}$ keine Funktion. Ich würde eher auf $\begin{eqnarray*} f: (x,y)\to x^4 + y^4 \end{eqnarray*}$ tippen.
Aber nehmen wir mal an, daß $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^4+y^4 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} R^2 -x^2 + y^2=1 \end{eqnarray*}$ zu minimieren ist, dann müßte man mit einem Lagrangemultiplikator arbeiten. Vermutlich sollte man erst einmal prüfen, wie die Aufgabe wirklich lautet. Andererseits braucht man hier nicht viel zu rechnen, da die Funktion f(x,y) umso kleiner ist, je näher man am Ursprung liegt. Das könnte im Scheitelpunkt der Hyperbel der Fall sein.

19.09.2021, 13:10

klauss

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?
Ja, für die Hyperbel spricht das Minuszeichen, dass ich zunächst nicht zuverlässig deuten konnte. Mit der gleichartigen eindimensionalen Rechnung kommt man dann auf 2 Lösungen.

Oder man greift

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Andererseits braucht man hier nicht viel zu rechnen, da die Funktion f(x,y) umso kleiner ist, je näher man am Ursprung liegt.

auf.
$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$
Um ein wenig zu rechnen, minimiere den Betrag des Abstandsvektors
$\begin{eqnarray*} \vec{d}(x)=\begin{pmatrix} x \\ \sqrt{1+x^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
eines Hyperbelasts zum Ursprung.

19.09.2021, 16:27

Student 1996

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?
So ich habe noch einmal die exakte Aufgabenstellung besorgt.

Mir ist wie gesagt klar, dass diese Aufgabe über die Lagrange-Methode gelöst werden sollte. Ich möchte nur wissen, ob ich in Aufgabenteil a.) die Aufgabenstellung missverstanden habe. Ich verstehe sie so, dass gezeigt werden soll, dass die Funktion f ihr (globales) Minimum auf der Menge A annimmt. Was schlichtweg falsch ist da der Punkt (0,0) kein Element von A ist. Wieso ist diese Aufgabe mit einem anderen Lösungsweg dann lösbar

Liebe Grüße Student 1996

19.09.2021, 17:41

klauss

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?
Ich gehe davon aus, dass es sich um ein Mißverständnis handelt. Die Formulierungen "ihr" Minimum oder "ein" Minimum werden beide im selben Zusammenhang verwendet. Entscheidend ist, dass die Funktion auf der Menge A untersucht werden soll. Berechne also die dortigen Minima, mit welcher Methode auch immer.

19.09.2021, 19:46

Ulrich Ruhnau

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RE: Funktion nimmt über einer Menge ein Minimum an?

Zitat:

Original von Student 1996
Mir ist wie gesagt klar, dass diese Aufgabe über die Lagrange-Methode gelöst werden sollte.

Na dann ist ja alles klar. Die Aufgabe lautet also: Suche das Minimum von $\begin{eqnarray*} x^4+y^4 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} -x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ !
Anzusetzen ist also
$\begin{eqnarray*} L(x,y)=x^4+y^4-\lambda (-x^2+y^2-1) \end{eqnarray*}$
und es müssen zwei Gleichungen gelöst werden, die da lauten $\begin{eqnarray*} L_x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_y=0 \end{eqnarray*}$ .[attach]53671[/attach]. Die Lösung muß also auf den beiden Hyperbeln liegen, wie man in dem contour- Plot, den ich mit Matlab erstellt habe, sieht.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:

function [X,Y] = min1()
% x^4+y^4 minimieren unter der Nebenbedingung -x^2+y^2=1
xr = -5:0.1:5;
yr = -5:0.1:5;
[X,Y] = meshgrid(xr,yr);
Z = X.^4+Y.^4;
m = sqrt(sqrt(max(Z(:))));
v = round(linspace(0,m,10).^4,1);
figure(1)
%contour(X,Y,Z,v)
contour(X,Y,Z,v,'ShowText','on')
grid on
phi = [-2.3:0.1:2.3];
x = sinh(phi);
y = cosh(phi);
hold on
plot(x,y,'linewidth',3)
plot(x,-y,'linewidth',3)
hold off
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
end

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