Diskrete Verteilung

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19.09.2021, 15:55

BigBaby31

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Diskrete Verteilung

Hey Leute mache mich an die nächste Aufgabe ran die ich wahrscheinlich ohne eure Tipps nicht schaffe Big Laugh

Handelt es sich hier um eine Bernoulli Verteilung leute ?

19.09.2021, 16:20

HAL 9000

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Wieviel diskrete Verteilungen hast du kennengelernt? Ich schätze mal so maximal fünf (Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Geometrische Verteilung, Poissonverteilung), und eine dieser fünf ist es auch tatsächlich - aber du tippst mit traumwandlerisch sicheren Gespür natürlich die falsche. unglücklich

Nicht raten, sondern vergleichen mit den Definitionen der fünf Verteilungstypen, um die richtige herauszufinden!

Kleiner Tipp: Deine Verteilung hier hat auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ positive Wahrscheinlichkeiten - das trifft bei den genannten fünf Verteilungstypen nur auf zwei zu, während die anderen drei nur auf endlich vielen Werten konzentriert sind.

19.09.2021, 16:37

BigBaby31

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Es ist die Poisson Verteilung .

Wie soll ich die Summer über alle Wahrscheinlichkeiten bilden ? Big Laugh

Für k = unendlich einsetzen und als Summe aufschreiben?

19.09.2021, 16:40

HAL 9000

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Ein Lichtblick: Poisson ist richtig.

Zitat:

Original von BigBaby31
Wie soll ich die Summer über alle Wahrscheinlichkeiten bilden ? Big Laugh

Du kannst hier gerne rechnen, aber eigentlich ist das eine Verständnisfrage: Die Gesamtsumme entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit. Wie groß ist die, und zwar bei jeder Verteilung?

19.09.2021, 16:44

BigBaby31

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Zahler und Nenner haben jeweils ein k .

k gegen unendlich ,dann sind Zähler und Nenner unendlich also 1.

e hoch lambda bleibt übrig?

19.09.2021, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von BigBaby31
k gegen unendlich ,dann sind Zähler und Nenner unendlich also 1.

Wenn ich diesen Satz kommentieren müsste: Gefasel in völliger geistiger Umnachtung. unglücklich

19.09.2021, 17:07

BigBaby31

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{\lambda^0 }{0!}*e^{-\lambda } + \frac{\lambda^1 }{1!}*e^{-\lambda } + \frac{\lambda^2 }{2!}*e^{-\lambda } ....... \end{eqnarray*}$

Der Nenner wird immer grösser also die Zahl immer kleiner ?

20.09.2021, 10:48

HAL 9000

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Um es kurz zu machen: Wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung ist auch hier die Gesamtwahrscheinlichkeit 1.

Die analytische Langfassung: Laut Exponentialreihe ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda} = e^{\lambda-\lambda} = e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

20.09.2021, 11:42

BigBaby31

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Kannst du vielleicht bitte auch erklären warum diese Summe = e^lambda ist ?

Verstehe nicht wie du darauf kommst ?

Für b) muss ich ja wieder mal das Integral

[latex] \int_{a}^{b} \! X* \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\, dx = \frac{1}{2}x^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}/latex]

Welche Grenzen wähle ich aber hier ?
In der Aufgabe steht ja k= 0,1,2 .....

20.09.2021, 11:44

BigBaby31

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Zitat:

Original von BigBaby31
Kannst du vielleicht bitte auch erklären warum diese Summe = e^lambda ist ?

Verstehe nicht wie du darauf kommst ?

Für b) muss ich ja wieder mal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! X* \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\, dx = \frac{1}{2}x^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Welche Grenzen wähle ich aber hier ?
In der Aufgabe steht ja k= 0,1,2 .....

20.09.2021, 12:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von BigBaby31
Kannst du vielleicht bitte auch erklären warum diese Summe = e^lambda ist ?

Exponentialreihe? Potenzreihe? Taylorreihe? Wohl alles Fremdwörter.

Ich sehe mich leider zeitlich außerstande, hier eine komplette Vorlesungsreihe bzw. überhaupt auch große Teile der gymnasialen Mathematikausbildung nachzuholen, die du anscheinend verpennt hast.

Zitat:

Original von BigBaby31
Für b) muss ich ja wieder mal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! X* \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\, dx = \frac{1}{2}x^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

N E I N ! ! ! Forum Kloppe

Hier liegt eine DISKRETE Verteilung vor, bei der ist

b) $\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ , aber man kann sich die Berechnung auch sparen, da das ja eine gut dokumentierte Standardverteilung ist.

Genauso bei $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ : Da kann man sich entweder durch die Berechnung $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ kämpfen, oder aber den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} E(X^2) = V(X) + (E(X))^2 \end{eqnarray*}$ nutzen.

c) $\begin{eqnarray*} P(X\leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \sum_{k=0}^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ .

20.09.2021, 16:04

BabyisBack

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Ich weiss das es wahrscheinlich für euch eine Zumutung wird Big Laugh

Aber ich wollte es gerne bei b) zu berechnen .

Hier mein Ansatz
Wie immer bleibe ich natürlich stecken leider ?

Wie kommt man da zum Ergebnis ?

21.09.2021, 11:01

HAL 9000

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Schaut man mal in den Unterlagen zu $\begin{eqnarray*} X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ nach, so ist da $\begin{eqnarray*} E(X)=\lambda, V(X)=\lambda \end{eqnarray*}$ verzeichnet.

Aber man kann das natürlich auch gern zu Fuß nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k\cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Die Summe rechts beginnt aus zwei Gründen erst bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ : Zum einen ist der Summand für k=0 gleich Null, einfach wegen des $\begin{eqnarray*} k\cdot \ldots = 0\cdot \ldots = 0 \end{eqnarray*}$ . Zum anderen gilt das für das Kürzen genutzte $\begin{eqnarray*} k! = k\cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$ auch erst für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Das weitere Umformen geschieht über eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=k-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j+1}}{j!} e^{-\lambda} = \lambda\cdot \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!} e^{-\lambda} = \lambda\cdot e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda} = \lambda \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ ist das ganze noch ausgefeilter: Hier nutzt man zunächst $\begin{eqnarray*} E(X^2) = E(X(X-1)+X) = E(X(X-1))+E(X) = E(X(X-1))+\lambda \end{eqnarray*}$ und weiter dann

$\begin{eqnarray*} E(X(X-1)) = \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)\cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-2)!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder: Die Summanden für k=0 und k=1 sind gleich Null und können weggelassen werden, während für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} k! = k(k-1)\cdot (k-2)! \end{eqnarray*}$ genutzt wird...

21.09.2021, 11:14

BabyisBack

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ich verstehe das nicht so genau mit dieser Index Verschiebung ?

Woher weisst du das du k-1 nehmen kannst. ?

verwirrt

21.09.2021, 11:33

HAL 9000

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Weil ich das $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (k-1)! \end{eqnarray*}$ im Nenner loswerden will, und das geht nun mal durch Substitution $\begin{eqnarray*} j=k-1 \end{eqnarray*}$ . Zu beachten ist natürlich, dass damit aus der Summation über $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ dann eine Summation über $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ wird.

21.09.2021, 11:46

BabyisBack

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Ah gut danke.
Die Berechnung bei x^2 lässt man da so stehen oder kann man noch weiter vereinfachen ?
Diese Aufgabe ist. schon kompliziert Big Laugh

21.09.2021, 12:39

HAL 9000

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Das ... dort sollte andeuten, dass du da ähnlich verfahren kannst, nur diesmal mit einer Verschiebung $\begin{eqnarray*} j=k-2 \end{eqnarray*}$ gleich um zwei Positionen!!!

21.09.2021, 12:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von BabyisBack
Diese Aufgabe ist. schon kompliziert Big Laugh

Nein, eigentlich nicht. Ich bin mir sicher, die Aufgabensteller sind auch damit zufrieden, wenn du nach der Erkenntnis "Poisson-Verteilung" die Charakteristika $\begin{eqnarray*} E(X),V(X) \end{eqnarray*}$ einfach aus der Tabelle übernimmst statt sie nochmal zu Fuß nachzurechnen - aber das habe ich ja schon ein paarmal erwähnt.

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