Wahrscheinlichkeit Bedienungsanleitungen

21.09.2021, 15:58

nowornever

Wahrscheinlichkeit Bedienungsanleitungen

Meine Frage:
Ein Hersteller von Küchenmaschinen weiß, dass in 4000 Packungen durchschnittlich 25 Bedienungsanleitungen fehlen. Die Standardabweichung betrage 4,9.
Ein Einzelhändler will 130 Küchenmaschinen erwerben. In welchem Bereich liegt mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% die durchschnittliche Anzahl von fehlenden Bedienungsanleitungen?

Meine Ideen:
Anteil fehlender Bedingungsanleitungen P : 0,0063

21.09.2021, 16:29

HAL 9000

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Wenn man annimmt, dass die Eigenschaft "Bedienungsanleitung fehlt" von Packung zu Packung unabhängig ist, dann haben wir Einzelwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p = \frac{25}{4000} = 0.00625 \end{eqnarray*}$ für das Fehlen der Bedienungsanleitung pro Packung, was für die binomialverteilte Anzahl $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=4000 \end{eqnarray*}$ dann Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)} \approx 4.984 \end{eqnarray*}$ ergibt. Das deckt sich nahezu mit dieser Angabe

Zitat:

Original von nowornever
Die Standardabweichung betrage 4,9.

wenngleich schlecht gerundet. Daher gehe ich mal davon aus, dass die obige Unabhängigkeitsannahme ausreichend gut zutrifft. Damit ist dann für die Stichprobenauswahl vom Umfang $\begin{eqnarray*} m=130 \end{eqnarray*}$ die Anzahl $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ an Packungen mit fehlender Bedienungsanleitung auch binomialverteilt, genauer gesagt $\begin{eqnarray*} Y\sim B(m,p) \end{eqnarray*}$ . Nun ist bereits $\begin{eqnarray*} P(Y=0) = (1-p)^m = 0.4426 \end{eqnarray*}$ , d.h. auf Wert 0 kann für das 95%-Sicherheitsintervall nicht verzichtet werden. Wir können daher allenfalls "oben" was abknapsen, d.h., wir suchen den kleinsten Wert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(Y\leq k)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$ , und nehmen als gesuchtes 95%-Sicherheitsintervall dann $\begin{eqnarray*} \left[0,k\right] \end{eqnarray*}$ .

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