Stetigkeit von f(x,y)

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von f(x,y)
Hey Leute Wink

Könnt ihr mir bei einer Aufgabe weiter helfen? Wie genau lässt sich bei der Funktion



die Stetigkeit/Unstetigkeit im Punkt (0,0) überprüfen? Ich würde ja gern mit Polarkoordinaten arbeiten, aber das scheint im Allgemeinen bei diesem Aufgabentyp nicht zu funktionieren..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist nicht sauber definiert: Für ist der Nenner (in der dann zuständigen Definition oben) gleich Null - sowas geht GAR NICHT. unglücklich
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, du hast vollkommen Recht, tut mir Leid!!

Die Abbildung hat den Definitionsbereich .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist im Punkt nicht stetig, was man beispielsweise durch Angabe einer Folge nachweisen kann, für die

a) , und

b)

gilt. Tipp: In der "Nähe" dieser eben angesprochenen Geraden suchen...
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Also es muss echt was mit der Geraden zu tun haben, denn würde die Zuordnung für lauten , dann ließe sich mit Polarkoordinaten die Stetigkeit nachweisen... Ich wollte grad aufgeben, dann ist mir ein Beispiel eingefallen!!

smile

Kannst du mir einen Tipp geben, wie man allgemein für den Fall
vorgehen kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na schon mal den Tipp, dass diese Definition unsauber ist, sobald mindestens einer der beiden Exponenten im Nenner ungerade ist, in dem Fall kann man nämlich ein ähnliches Gegenbeispiel konstruieren wie in deinem Beispiel, also "nahe" an der Polstellenlinie entlang.

Gehen wir im folgenden mal davon aus, dass im Nenner statt steht. (*)

Dann kann man per Youngscher Ungleichung (gültig für alle positiven reellen Zahlen mit ) angewandt auf und die Abschätzung



erreichen, was zur Abschätzung mit sowie und führt.

Findet man nun passende mit und , so folgt daraus Stetigkeit im Punkt für die veränderte Funktion (*). Erreichbar ist das genau dann wenn gilt.

Gilt das nicht, d.h. dann , dann findet man eine passende Gegenbeispielfolge: .
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

HAL9000, ich verehre dich. Das meinte ich im Ernst! Gott

Nur ist es wirklich korrekt gleich nach dem Anwenden der Youngschen Ungleichung und der Erkenntnis, dass Stetigkeit in (0,0) vorliegt, falls auch ein "genau dann wenn" zu verwenden?

Ich bin mir allerdings sicher, dass es stimmt, weil ich bereits die Unstetigkeit für nachgewiesen habe durch die Betrachtung des Falls .

Nur noch eine letzte Frage dazu: Wenn ich mir den Fall mit anschaue, dann wissen wir jetzt, dass die Stetigkeit in (0,0) vorliegt. Allerdings hatte ich gehofft zumindest in diesem Fall mit Polarkoordinaten arbeiten zu können. Aber da ich den entstehenden Term

nicht nach oben durch mit stetiger (oder beschränkter) Funktion abschätzen kann, scheinen auch hier die Polarkoordinaten nutzlos. Findest du hier noch eine entsprechende Abschätzung oder würdest du generell empfehlen die Polarkoordinaten zu vermeiden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, Polarkoordinaten würde ich in dem Fall dann aber nicht direkt auf anwenden, sondern allenfalls auf


.

Dann bekommt man nämlich im Nenner und im Zähler

.

Die sin- und cos-Terme kannst du natürlich grob nach oben durch 1 abschätzen, es verbleibt dann noch .
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ach verrückt, dann hast du nicht nur grad mein Beispiel mit Polarkoordinaten gelöst, sondern auch gleich noch den gesamten Beweis mit Polarkoordinaten geführt!!!

Denn für lässt sich hier allgemein die Abschätzung finden. Damit folgt die Konvergenz, falls .

HAL du hast es echt drauf, vielen lieben Dank!! Darf ich dich fragen, ob du Mathe Professor bist oder generell an einem Lehrstuhl arbeitest? Bitte lass die Frage einfach unbeantwortet, wenn sie zu privat ist. Geht ja auch nicht jeden was an.
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