Kubische Splines

22.09.2021, 09:05

hi33

Kubische Splines

guten Morgen habe eine Frage:
Es soll eine Funktion f : R → R an den Stützstellen {x0, x1, x2} approximiert werden. Gegeben seien
folgende Funktionswerte:

xi. 0. 1. 2
f(xi). 0 8. 4

Berechnen Sie den kubischen Spline zu diesen Daten unter natürlichen Randbedingungen. Geben Sie
hierbei sowohl die von Ihnen verwendeten Formeln als auch die Werte der Variablen an.

h0 ,h1 ,M0 ,M1,M2, d0 , d1,c0,cq,s0,s1

Hätte jemand tipps?

22.09.2021, 09:39

HAL 9000

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Laut Aufgabenstellung geht es weder um das Newton-Verfahren (approximative Nullstellensuche) noch um die Newtonsche Polynominterpolation, sondern um Kubische Splines - Thread-Überschrift vefehlt.

Zitat:

Original von hi33
Hätte jemand tipps?

Ja: Da du durch die Angabe "h0 ,h1 ,M0 ,M1,M2, d0 , d1,c0,cq,s0,s1" anscheinend sehr explizite Symbolvorgaben für die Parameter der Splinefunktionen hast, solltest du einfach die Verfahrensschritte befolgen, die zu diesen (wie gesagt) sehr expliziten Symbolen gehören - denn anscheinend sind die im Rahmen dieser Lehrveranstaltung gefallen. Hier im Forum sind zwar viele Leute mit kubischen Splines vertraut, die wenigsten können aber wohl die komplette Bedeutung all deiner Symbole zweifelsfrei zuordnen.

Wir können deine Symbolvorgaben natürlich komplett ignorieren und eigene verwenden - die Frage ist, ob du damit dann glücklich wirst.

22.09.2021, 09:40

hi33

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Wie berechne ich das ?

22.09.2021, 09:43

HAL 9000

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Möglicherweise verwendest du haargenau dieselben Symbolbezeichnungen wie hier beschrieben. Wenn das so ist, dann solltest du das auch sagen! Wir sind ja keine Hellseher, landen nur manchmal diesbezüglich Glückstreffer...

Nehmen wir an, das stimmt so mit den Symbolen. Dann geht es hier um die Splinepolynome $\begin{eqnarray*} s_i(x) = \frac{1}{6h_i}\left( (x_{i+1}-x)^3\cdot M_i + (x-x_i)^3\cdot M_{i+1}\right) + c_i\cdot (x-x_i) + d_i \end{eqnarray*}$ gültig im Intervall $\begin{eqnarray*} x\in \left[x_i,x_{i+1}\right] \end{eqnarray*}$ mit Breite $\begin{eqnarray*} h_i:=x_{i+1}-x_i \end{eqnarray*}$ , und das in deinem Fall für zwei Intervalle, d.h., $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ .

Und wo klemmt es denn genau? Es kommt vielleicht in dem sehr langen Artikel nicht besonders deutlich heraus, in welcher Reihenfolge die gesuchten Koeffizienten zu berechnen sind:

- Zuerst $\begin{eqnarray*} M_0,M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ als Lösung des (in diesem Fall sehr sehr einfachen) 3x3-Linearen Gleichungssystems.
- Dann $\begin{eqnarray*} c_0,c_1,d_0,d_1 \end{eqnarray*}$ berechnen aus diesen ja schon bestimmten $\begin{eqnarray*} M_0,M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ , mit den dort angegebenen Formeln.

23.09.2021, 04:47

mYthos

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Thementitel aktualisiert.

mY+

23.09.2021, 13:29

hi33

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Danke für die Mühe

$\begin{eqnarray*} h_0 = x_1 - x_0 = 8-0 =8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_1 = x_2 - x_1 = 4 - 8 = -4 \end{eqnarray*}$

Wie komme ich denn jetzt genau auf M_0 ,M_1...

?

Beim LGS wären doch zu viele Unbekannten immer noch?

23.09.2021, 14:42

HAL 9000

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Schauen wir uns mal an, was da in deinem Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ steht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\mu_0 & \lambda_0 & 0\\ \frac{h_0}{6} & \frac{h_0+h_1}{3} & \frac{h_1}{6}\\ 0 & \lambda_2 & \mu_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} M_0\\ M_1\\ M_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_0\\ \frac{y_2-y_1}{h_1} - \frac{y_1-y_0}{h_0}\\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_0=0,y_1=8,y_2=4 \end{eqnarray*}$ sind die drei gegebenen Funktionswerte.

Bei $\begin{eqnarray*} h_0,h_1 \end{eqnarray*}$ hast du dich in der Spalte vergriffen: Die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte sind die erste Spalte!!! Somit ist $\begin{eqnarray*} h_0=x_1-x_0=1-0=1 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} h_1=x_2-x_1=2-1=1 \end{eqnarray*}$ .

Der "Rest" an notwendigen Ausgangswerten zur Aufstellung des GLS ergibt sich aus der Forderung "natürliche Randbedingungen": Das bedeutet nämlich $\begin{eqnarray*} \mu_0=\mu_2=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_0=b_2=\lambda_0=\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Dies alles oben eingesetzt ergibt sich schlicht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} M_0\\ M_1\\ M_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -12\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

da kann man eigentlich die Lösung direkt ablesen: $\begin{eqnarray*} M_0=0,M_2=0 \end{eqnarray*}$ sofort, und damit dann auch $\begin{eqnarray*} M_1=-18 \end{eqnarray*}$ .

Über $\begin{eqnarray*} d_i = y_i - \frac{h_i^2}{6}\cdot M_i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c_i = \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \frac{h_i}{6}\cdot \left(M_{i+1}-M_i\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,1 \end{eqnarray*}$ bekommt man anschließend auch noch die restlichen Parameter der beiden kubischen Splinefunktionen.

23.09.2021, 15:52

hi33

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Der "Rest" an notwendigen Ausgangswerten zur Aufstellung des GLS ergibt sich aus der Forderung "natürliche Randbedingungen": Das bedeutet nämlich $\begin{eqnarray*} \mu_0=\mu_2=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_0=b_2=\lambda_0=\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ .

woher weisst du das u0 =u2 = 1 ist und woran erkennst du diese lambda und b Werte ?
Das ist noch nicht so ganz klar?

23.09.2021, 15:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von hi33
woher weisst du das u0 =u2 = 1 ist und woran erkennst du diese lambda und b Werte ?

Ich L E S E den Wiki-Beitrag halt gründlich.

Aber auch inhaltlich ist klar, dass natürliche Randbedingungen $\begin{eqnarray*} M_0=M_2=0 \end{eqnarray*}$ bedeuten, denn $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ sind ja gerade die Werte der zweiten Ableitung an den beiden Endpositionen des Splines. Insofern "schrumpft" das 3x3-GLS unter Weglassen dieser beiden Variablen sowie dann erster und letzter GLS-Zeile zu einem 1x1-GLS (d.h. eine simple lineare Gleichung) für die Variable $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\cdot M_1 = -12 \end{eqnarray*}$ .

Der Wiki-Artikel ist halt nur allgemein gehalten, d.h., die Grundformeln sollen auch für andere als natürliche Randbedingungen gelten.

27.09.2021, 14:33

hi33

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Die Rechnung ist hier .

Passen meine Ergebnisse ?

Kann ich das u0 ,u2 immer als 1 annehmen ?
Das b0 ,b2 als 0?

29.09.2021, 16:16

hi33

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Ich denke mal das Ergebnis richtig ist
Danke Leute smile

29.09.2021, 21:34

hawe

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Ich hab die Diskussion nicht in allen Einzelheiten verfolgt, aber der letzte Term ist quadratisch und nix kubisch - GeoGebra kann was für die Anschauung und Überprüfung tun?

[attach]53735[/attach]

29.09.2021, 22:16

hi33

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Meinst du das Ergebnis net stimmt?

29.09.2021, 23:51

hawe

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Du weißt schon, dass Du ZWEI kubische Polynome f1,f2 berechnen sollst
f1 von (0,0) bis (1,8)
und
f2 von (1,8) bis (2,4)
zuasmmengesetzt f(x)
siehe oben

In meiner Rechnung hab ich für 2 Polynome 2x4 = 8 Gleichungen in einer Matrix A.. Da geht es mir erstmal ums Grundverständnis und nicht so sehr um einen numerisch einfachen Aufbau des LGS...

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