Differentialrechung beim freien Fall

23.09.2021, 17:14	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechung beim freien Fall Meine Frage: Beim freien Fall von Körpern , also zum Beispiel bei Fallschrimspringern, ergibt sich der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der abgelaufenen Zeit durch die Gleichung $\begin{eqnarray} s(t)=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2} \end{eqnarray}$ . Auf der Erde besitzt g näherungsweise den Wert $\begin{eqnarray} 10\frac{m}{s^{2} } \end{eqnarray}$ .Somit ergibt sich für den freien Fall die Näherungsformel $\begin{eqnarray} s(t)=5\cdot t^{2} \end{eqnarray}$ a) Berechne die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit zwischen der 3ten und 5ten Sekunde. b)Berechne die Momentangeschwindigkeit für die 5te Sekunde. Meine Ideen: Hab so eine Textaufgabe noch nicht gemacht deshalb bitte ich um Lösungswege. LG
23.09.2021, 17:33	G230921	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe- Ableiten a) (s(5)-s(3))/(5-3) = ... b) s'(5)= ...
24.09.2021, 14:53	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe- Ableiten Verstehe ich nicht so ganz
24.09.2021, 14:57	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe- Ableiten $\begin{eqnarray} s(5) = 55^2 = 125 \end{eqnarray*}$ Eiinfach einsetzen und ausrechnen!
24.09.2021, 18:34	Benutzer121	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe- Ableiten Verstehe ich leider immer noch nicht so ganz. Wenn ich den Lösungsweg wüsste , dann verstehe ich es auch.
24.09.2021, 19:32	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier eine konstante(!) Beschleunigung ohne Anfangsgeschwindigkeit und ohne Reibung (vergiss den Fallschirm), daher gilt in einem Zeitintervall: $\begin{eqnarray} \Delta s(t+\Delta t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (t+\Delta t)^2 \end{eqnarray}$ Die (Momentan-) Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortsänderung nach der Zeitänderung: $\begin{eqnarray} v(t)=\frac{ds}{dt}=\lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s(t+\Delta t) - \Delta s(t)}{\Delta t} = g \cdot t \end{eqnarray}$ Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dagegen der Mittelwert zweier Momentangeschwindigkeiten: $\begin{eqnarray} \bar v = \frac{1}{2} \Big [ v(t) + v(t+\Delta t) \Big ] = g \cdot t + \frac{g \cdot \Delta t}{2} \end{eqnarray}$ Die Ortsänderung ausgedrückt durch die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann (t=0): $\begin{eqnarray} \Delta s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\Delta t)^2 = \bar v \cdot \Delta t \end{eqnarray}$ ((Geometrisch machst du für s(t) so aus dem "Dreieck" dann ein flächengleiches "Rechteck" ))
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