Intuition für den Vektorraum der Polynome

27.09.2021, 10:42	Schnackelz	Auf diesen Beitrag antworten »
Intuition für den Vektorraum der Polynome Hallo, es geht um folgendes: Ich betrachte die lineare Abbildung der Differenzierung namens D. D.h. aus P(R) wird auf P(R) abgebildet, wobei P(R) der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in den reellen Zahlen ist. Die Abbildungsvorschrift ist dann D(p) = p' . Ich frage mich, wie ich mir sowas am besten vorstellen kann. Ich kenne bisher nur Vektorräume, die z.B. aus den reellen Zahlen bestehen und dort kann man sich die einzelnen Elemente des Raumes einfach als Vektoren vorstellen. Aber wie stelle ich mir den Vektorraum P(R) vor, der die Menge aller Polynome repräsentiert. D.h. er besteht aus Polynomen mit verschiedensten Koeffizienten und wo auch die Höhe der Exponenten unterschiedlich sein kann. Gibt es da eine intuitive Lösung zur geometrischen Darstellung des Raumes wie man es bei R^2 oder R^3 machen kann oder sollte ich mich nicht so lange damit aufhalten und mich einfach auf die Eigenschaften der Räume fokussieren?
27.09.2021, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es, denn die reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2 $\begin{eqnarray} p(x)=a+bx+cx^2 \end{eqnarray}$ haben genau 3 Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2 ist daher genau der $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Mathematisch exakt nennt man die beiden Vektorräume isomorph. Genau so für Polynome höheren Grades. Der Vektorram aller reellen Polynome ist ismorph zu einem Untervektorraum der reellen Folgen $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray}$ , das ist auch der Raum der Funktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Der Untervektorraum der Polynome besteht aus allen reellen Folgen, bei denen fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Koeffizienten den Wert 0 haben. Man sieht, dass der Vektorraum der reellen Polynome ein Untervektorraum der Nullfolgen und dieser ein Untervektorraum der konvergenten Folgen und dieser ein Untervektorraum der reellen Folgen und dieser ein Untervektorraum der komplexen Folgen ist. das ist doch alles sehr schön anschaulich. Die Differentiation für Polynome vom Grad kleiner gleich 2 ist dann offensichtlich gegeben durch $\begin{eqnarray} D(a,b,c)=(b,2c) \end{eqnarray}$ , und allgemein $\begin{eqnarray} D(\sum_{k=0}^n a_kx^k)=\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1} \end{eqnarray}$ . Die zweite Summe kann man wegen $\begin{eqnarray} 0\cdot a_0=0 \end{eqnarray}$ ebenso gut von $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ laufen lassen.
27.09.2021, 14:08	Schnackelz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war sehr hilfreich, vielen Dank !!

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