Rang von nichtquadratischer Matrix über F2

28.09.2021, 15:13	F2	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang von nichtquadratischer Matrix über F2 Hallo Leute, mein LinA Wissen ist ein paar Jahre eingerostet und nun werde ich wieder mit linearer Algebra konfrontiert. Ich soll überprüfen ob eine Matrix mit Polynomen drin, die auf F2 (Körper mit zwei Elementen) definiert sind den maximalen Rang hat. Die Matrix sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} G_1(x) = \begin{pmatrix}x + x^2 & 1+ x^2 + x^3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Größe ist also 1x2. Wenn ich mich recht erinnere ist es so, dass Zeilenrang und Spaltenrang gleich sind. Ich habe Ränge immer überprüft, indem ich ein Lineares Gleichungssystem aufgebaut habe und es auf Stufenform für Gauß gebracht habe und geguckt, wie viele Zeilen da übrig bleiben. Hier bin ich irgendwie dran verzweifelt. Ich kann die Matrix auf jeden Fall transponieren: $\begin{eqnarray} G_1(x) = \begin{pmatrix}x + x^2 \\ 1+ x^2 + x^3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber ich kann keine Zeile zu einer Nullzeile machen. Generell ist das mit der Stufenform bei 1x2 auch etwas unintuitiv. Kann ich hier anders argumentieren? Der Rang sieht für mich auf jeden Fall nicht voll aus. Stehe etwas auf dem Schlauch.
28.09.2021, 16:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang von nichtquadratischer Matrix über F2 Der Rang kann ja höchstens eins sein, weil du nur eine Zeile hast. Rang Null würde bedeuten, du hast es mit der Nullmatrix zu tun. Das scheidet also aus. Bleibt nur Rang 1 Edit: Vergiss es, ich hatte übersehen, dass du es mit einer Matrix über dem Polynomring zu tun hast. Da muss nicht Spaltenrang gleich Zeilenrang sein.
28.09.2021, 20:53	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang von nichtquadratischer Matrix über F2 Ich würde die Matrix über F2 erstmal aufschreiben? $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{rrrr}0&1&1&0\\1&1&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x^{3}\\x^{2}\\x\\1\\\end{array}\right) \end{eqnarray}$

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