Gibt es eine verallgemeinerte Produkt-nach-Summenformel für Sinus nach Cosinus?

Neue Frage »

30.09.2021, 13:42	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es eine verallgemeinerte Produkt-nach-Summenformel für Sinus nach Cosinus? Meine Frage: Wir wissen dass folgende Beziehung gilt: $\begin{eqnarray} \sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right) \end{eqnarray}$ . Können wir eine verallgemeinerte Formel finden für: $\begin{eqnarray} \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma\cdots \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bisher habe ich mich nach den Ausführungen auf dieser Seite orientiert.
30.09.2021, 15:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammen mit den beiden verwandten Formeln $\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}\left( \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}\left( \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right) \end{eqnarray}$ kannst du natürlich durch sukzessive Anwendung dieser drei Formeln jedes Produkt von Sinus- und Kosinustermen dann letztlich als Summe von Sinus- oder Kosinustermen (mit dann anderen Argumenten) schreiben, ja. Ob man da allerdings zu einer "geschlossenen" Darstellung für allgemein "Produkt von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Sinuswerten" kommt, bleibt zu erforschen. Hier z.B. dann $\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) = \frac{1}{4}\left(\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(-\alpha+\beta+\gamma)+\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\right) \end{eqnarray}$ .
30.09.2021, 15:45	G300921	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Wozu braucht man diese Beziehungen? Wo kommen sie in der Praxis vor?
30.09.2021, 16:54	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zusammen, zunächst einmal vielen Dank für die Hinweise. Die Ideen sind sehr interessant. Ich bin im Rahmen der "Implizitmachung" von Kardioid/Roll-Kurven, die in Parameterform gegeben sind, auf Tschebyscheff-Polynome gestoßen. Die ermöglichen eine verallgemeinerte Form für $\begin{eqnarray} \cos(n\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(n\alpha) \end{eqnarray}$ . Sehr interessant ist diese Formelsammlung. Nun ist die Frage, ob man nicht auch diese Beziehung verallgemeinern kann. Ich weiß, dass es damit nicht im direkten Zusammenhang steht, aber vielleicht ist es ja doch einen Idee: Für die "Implizitmachung" habe ich in Maple bspw. trigonometrische Terme in Exponentialformen umgewandelt. Gegebenenfalls ist das ja auch hier ein Ansatz?
30.09.2021, 17:01	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000: Dieser Term/Ansatz sieht klasse aus. Wäre wirklich spannend zu wissen, wie das verallgemeinerte Produkt ausschaut. Ich überlege gerade, wie ich das mithilfe von Mathematica oder ähnlichem den Computer ausrechnen lassen kann, sprich einfach mal für 4 Winkel, dann 5 und 6 und so weiter. Vielleicht sehen wir dann eine Logik und können das verallgemeinern.
30.09.2021, 21:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Vermutung: Sei $\begin{eqnarray} E_n = \{-1,+1\}^n \end{eqnarray}$ die Menge aller $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Tupel bestehend nur aus -1 und +1. a) Für ungerade $\begin{eqnarray} n=2m+1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n \sin\left(\alpha_k\right) = \frac{(-1)^m}{2^n} \sum_{e\in E_n} \left(\prod_{k=1}^n e_k\right)\sin\left(\sum_{k=1}^n e_k\alpha_k\right) \end{eqnarray}$ . b) Für gerade $\begin{eqnarray} n=2m \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n \sin\left(\alpha_k\right) = \frac{(-1)^m}{2^n} \sum_{e\in E_n} \left(\prod_{k=1}^n e_k\right)\cos\left(\sum_{k=1}^n e_k\alpha_k\right) \end{eqnarray}$ . Beide Summen umfassen jeweils $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Sinus- bzw. Kosinusterme. Durch die Symmetrien $\begin{eqnarray} \cos(-x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sin(-x)=-\sin(x) \end{eqnarray}$ kann man diese Anzahl allerdings auf $\begin{eqnarray} 2^{n-1} \end{eqnarray}$ Terme reduzieren. Ich habe dennoch die Darstellungen mit den $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Summanden gewählt, weil bei denen die Symmetrie nicht gestört ist - man ist eben auch ein bisschen Ästhet. Mit ein wenig Durchhaltevermögen und Disziplin sollte ein Induktionsbeweis dafür möglich sein.
Anzeige

30.09.2021, 21:37	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse - das ist genau das was ich gesucht habe. Probiere ich aus. Besten Dank!
30.09.2021, 23:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe auch hier und die folgenden Beiträge
01.10.2021, 08:06	Eldar	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant! Die allgemeine Formel von HAL 9000 könnte man nun in das dort angegebene Integral einsetzen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(\lambda x)}{x}\cdot\prod_{k=1}^{n}\cos(a_kx) \,dx \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \sin(\lambda x) \end{eqnarray}$ lässt sich durch die per Tschebyscheff-Polynom darstellbare Summe ersetzen.
01.10.2021, 08:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die oben angegebene Formel ist für die Produkte von Sinuswerten, nicht von Kosinuswerten. Die für Kosinuswerte ist sogar erheblich einfacher: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n \cos\left(\alpha_k\right) = \frac{1}{2^n} \sum_{e\in E_n} \cos\left(\sum_{k=1}^n e_k\alpha_k\right) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Und aus der folgt unmittelbar $\begin{eqnarray} \sin(\beta)\prod_{k=1}^n \cos\left(\alpha_k\right) = \frac{1}{2^n} \sum_{e\in E_n} \sin\left(\beta+\sum_{k=1}^n e_k\alpha_k\right) \end{eqnarray}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Gibt es eine verallgemeinerte Produkt-nach-Summenformel für Sinus nach Cosinus?

Verwandte Themen