Funktion ableiten

02.10.2021, 17:35

Benutzer12

Funktion ableiten

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x^{2}-5)*\sqrt{x^4-5x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 3x^{2}-5*2x-2,5x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ . Wenn Ergebnis falsch würde ich mich über den korrekten Lösungsweg freuen. LG

02.10.2021, 17:45

G021021

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RE: Funktion ableiten
$\begin{eqnarray*} u = 3x^2-5 -> u' = 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= (x^4-5x)^{1/2} -> v'= 1/2*(x^4-5x)^{1/2}*(4x^3-5) \end{eqnarray*}$

...

03.10.2021, 11:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Benutzer12
$\begin{eqnarray*} 3x^{2}-5*2x-2,5x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ .

Abgesehen von den vergessenen Klammern sowie der falsch angewandten Differentationsregel lässt mich der hintere Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2x-2{,}5x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ vermuten, dass du eine Zwischenrechnung der Art

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4-5x} \stackrel{???}{=} \sqrt{x^4}-5\sqrt{x} = x^2-5\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

angestellt hast. So einen Unfug an Wurzelumformung solltest du dir schleunigst aus dem Kopf schlagen.

03.10.2021, 11:41

G031021

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Alter Merkspruch:

Aus Differenzen und Summen ziehen Wurzeln nur die Dummen, aus Produkten und Quotienten jedoch
die Intelligenten. Augenzwinkern

04.10.2021, 08:50

gast_free

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RE: Funktion ableiten
Deine Vorgehensweise zeigt, das Du elementare Regeln aus der Algebra noch nicht beherrschst (z.B. Klammerrechnung) und Dir die Basisregeln für Ableitungen ebenso fremd sind.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x^2-5)\cdot (\sqrt{x^4-5x}) \end{eqnarray*}$

Hierbei handelt es sich um zwei Funktionen die miteinander multipliziert werden. Für die Multiplikation zweier Funktionen gibt es eine eigene Ableitungsregel die als Produktregel bezeichnet wird.

$\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

In diesem Fall:
$\begin{eqnarray*} u(x)=3x^2-5 \end{eqnarray*}$

Hier ist die Ableitung trivial.
$\begin{eqnarray*} u'(x)=6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt{x^4-5x} \end{eqnarray*}$

Hier empfiehlt sich die Kettenregel. (innere und äußere Ableitung)
$\begin{eqnarray*} z(x)=x^4-5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{d v(z)}{dz}\cdot \frac{d z(x)}{dx} \end{eqnarray*}$
Anmerkung: Die Ableitung der Wurzel lässt sich auf die Ableitung von Potenzfunktionen zurück führen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d v(z)}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{z}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d z(x)}{dx}=4x^3-5 \end{eqnarray*}$

Somit ist

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{4x^3-5}{2\sqrt{z}}=\frac{4x^3-5}{2\sqrt{x^4-5x}} \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man alle Bausteine um sie in die Produktregel einzusetzen. Man sollte noch einige geschickte Umformungen vornehmen.

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