Periode

04.10.2021, 13:39

Heyhoooa

Periode

Ändert sich die Periode der Cosinus oder Sinusfunktion, wenn man diese quadriert oder sogar hoch 20 nimmt?

Also gilt: $\begin{eqnarray*} \cos^{20}(x+2\pi) = \cos^{20}(x) \end{eqnarray*}$

04.10.2021, 13:51

adiutor62

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RE: Periode
Hier die Graphen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=pl...cos%5E20%28x%29

04.10.2021, 13:52

HAL 9000

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Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periodenlänge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} (f(x))^n \end{eqnarray*}$ periodisch mit diesem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Anders sieht es aber aus, wenn man nach der kleinsten (!) Periodenlänge fragt, die kann sich durch die Potenzierung durchaus ändern, nämlich kleiner werden:

So besitzt $\begin{eqnarray*} x\mapsto \cos(x) \end{eqnarray*}$ die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} x\mapsto \cos^n(x) \end{eqnarray*}$ für geradzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ aufweist.

04.10.2021, 20:13

Heyhoooa

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Zitat:

Original von HAL 9000
So besitzt $\begin{eqnarray*} x\mapsto \cos(x) \end{eqnarray*}$ die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} x\mapsto \cos^n(x) \end{eqnarray*}$ für geradzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ aufweist.

Wie kann man diese Aussage beweisen? Oder wie zeigt man, dass die die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist?

04.10.2021, 20:31

HAL 9000

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Für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \cos^n(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(0)=f(\pi)=1 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} f(x)<1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ ist. Damit gibt es keine Periode $\begin{eqnarray*} <\pi \end{eqnarray*}$ . Andererseits kann man $\begin{eqnarray*} f(x+\pi) = (\cos(x+\pi))^n = (-\cos(x))^n = \cos^n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ zeigen, damit muss die kleinste Periode gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein.

04.10.2021, 22:14

Leopold

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Das Potenzieren kann zu Auslöschungseffekten führen. Nehmen wir die Funktion $\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ mit

$\begin{align*} f(x) = 1 \, ; \ \ 0 \leq x < 1 \end{align*}$

$\begin{align*} f(x+1) = -f(x) \, ; \ \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Die Funktion hat die Minimalperiode 2, ist auf jedem Intervall $\begin{align*} I_n = [n,n+1) \end{align*}$ mit $\begin{align*} n \in \mathbb{Z} \end{align*}$ konstant und springt zwischen den Werten 1 und -1 hin und her.

Und $\begin{align*} g \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x) = \left( f(x) \right)^2 \end{align*}$ ? Das Infimum der Perioden von $\begin{align*} g \end{align*}$ ist 0. In einem etwas diffusen Sinn könnte man von einer infinitesimalen Minimalperiode sprechen. Oder sagen wir es rundheraus: $\begin{align*} g \end{align*}$ ist konstant.

05.10.2021, 03:53

Heyhoooa

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Angenommen, die Aufgabe wäre, bestimme die kleinste Periode von

$\begin{eqnarray*} \cos^{20}\left(\frac{\pi}5x\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin^{20}\left(\frac{\pi}5x\right) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) : = \cos^{20}\left(\frac{\pi}5x\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) := \sin^{20}\left(\frac{\pi}5x\right) \end{eqnarray*}$ .

Ansatz: $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x+T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = g(x+T) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T > 0 \end{eqnarray*}$ . Da Sinus und Cosinus $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch sind, gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos^{20}\left(\frac{\pi}5(x+T)\right) = \cos^{20}\left(\frac{\pi}5x+\frac{\pi}5T\right) = \cos^{20}\left(\frac{\pi}5x+2\pi\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{\pi}5T = 2\pi \Longleftrightarrow T = 10 \end{eqnarray*}$ .

Dieser Ansatz klappt nicht oder? Also kann ich jetzt davon ausgehen, dass 10 eine Periode ist, aber nicht die kleinste, weil ich mit 2pi und nicht mit pi gearbeitet habe?

05.10.2021, 06:26

Leopold

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$\begin{align*} \cos(x) \rightsquigarrow \cos \left( \frac{\pi}{5} x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} x \end{align*}$ wird durch $\begin{align*} \frac{\pi}{5} x \end{align*}$ substituiert. Das bedeutet graphisch eine axiale Streckung in x-Richtung vom Ursprung aus mit dem Faktor $\begin{align*} \frac{5}{\pi} \end{align*}$ . Damit ist dann auch die Periode zu multiplizieren:

$\begin{align*} 2 \pi \cdot \frac{5}{\pi} = 10 \end{align*}$

$\begin{align*} u(x) = \cos \left( \frac{\pi}{5} x \right) \end{align*}$ hat daher die Periode 10.

Jetzt wird noch zusätzlich quadriert: $\begin{align*} f(x) = \left( u(x) \right)^2 = \cos^2 \left( \frac{\pi}{5} x \right) \end{align*}$ . Die Bögen oberhalb der x-Achse bleiben, verändern aber ihre Form. Die Bögen unterhalb der x-Achse werden nach oben gespiegelt und nehmen ebenfalls diese Form an. Daher wiederholt sich alles bereits nach 5 Einheiten.

[attach]53756[/attach]

Probe:

$\begin{align*} f(x+5) = \left( \cos \left( \frac{\pi}{5} (x+5) \right) \right)^2 = \left( \cos \left( \frac{\pi}{5} x + \pi \right) \right)^2 = \left( - \cos \left( \frac{\pi}{5} x \right) \right)^2 = \left( \cos \left( \frac{\pi}{5} x \right) \right)^2 = f(x) \end{align*}$

Daß nun 5 die kleinste Periode ist, muß gesondert begründet werden. Wie man das im konkreten Beispiel machen kann, hat HAL gezeigt.

05.10.2021, 08:58

HAL 9000

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Leopold hat mit seinem Einwand natürlich Recht, d.h., ich müsste mein obiges salopp formuliertes

Zitat:

Original von HAL 9000
Anders sieht es aber aus, wenn man nach der kleinsten (!) Periodenlänge fragt, die kann sich durch die Potenzierung durchaus ändern, nämlich kleiner werden:

dahingehend ändern in

Zitat:

Anders sieht es aber aus, wenn man nach der kleinsten (!) Periodenlänge fragt: Die potenzierte Funktion ist entweder konstant oder aber periodisch mit einer kleinsten Periode, die ein Teiler der kleinsten Periode der Originalfunktion ist.

Die Frage nach der kleinsten Periode einer solchen aus mehreren Winkelfunktionen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzten Funktion ist nicht immer leicht zu beantworten, und auch nicht immer gleich dem Funktionsterm anzusehen: So hat beispielsweise $\begin{eqnarray*} f_1(x) = \sin^2(x) + \cos(2x) + \sin(4x) \end{eqnarray*}$ die kleinste Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} f_2(x) = 2\sin^2(x) + \cos(2x) + \sin(4x) \end{eqnarray*}$ die kleinste Periode $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ hat.

Bei manchen Funktionen ist vielleicht auch nicht unmittelbar klar, wie man den Nachweis der kleinsten Periode führen kann, beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} f_3(x) = \sin(3x)+\cos(5x) \end{eqnarray*}$ . Der "Trick" oben, den Abstand von globalem Maximum zum nächsten zu betrachten, klappt hier schlecht, da hier das Maximum auf einem äußerst krummen Wert liegt. Mir würde hier nur folgendes einfallen: Ist eine $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion differenzierbar, so ist auch ihre Ableitung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ -periodisch (wohlgemerkt meint $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nur irgendeine, nicht notwendig die kleinste Periode). Zweimal auf $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ angewandt bedeutet dies, dass jede Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f_3(x) \end{eqnarray*}$ auch Periode von $\begin{eqnarray*} f_3''(x) = -9\sin(3x)-25\cos(5x) \end{eqnarray*}$ sein muss, und damit dann auch Periode sowohl von $\begin{eqnarray*} 9f_3(x)+f_3''(x)=-16\cos(5x) \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} 25f_3(x)+f_3''(x)=16\sin(3x) \end{eqnarray*}$ . Ersteres hat kleinste Periode $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{5} \end{eqnarray*}$ , letzteres $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$ . Damit muss $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gemeinsames Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$ sein, und damit gemeinsames Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{ggT(5,3)}=2\pi \end{eqnarray*}$ sein. Da andererseits $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ tatsächlich Periode von $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist, muss es nach diesen Vorbetrachtungen dann auch kleinste Periode sein.

Man sieht: Der Nachweis der kleinsten Periode kann um Längen aufwändiger sein als "nur" der Nachweis der Periodizität mit einer bestimmten Periode.

05.10.2021, 15:52

Heyhoooa

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Kann ich mir als Eselsbrücke merken, wenn $\begin{eqnarray*} \cos^n(x) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade, wäre der Ansatz mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist, dann $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Gilt das auch für den Sinus? Ich meine natürlich unter der Voraussetzung, dass die Funktion jeweils nur den Sinus oder Kosinus enthält. Also zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos^{20}\left(\frac{\pi}5x\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = \cos^{18}\left(\frac{\pi}4x\right) \end{eqnarray*}$

05.10.2021, 18:02

HAL 9000

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Du fragst, ob die Periode "mit" $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist und nennst dann diese Funktionen? Da muss man natürlich "Nein" antworten bzw. rückfragen: Was verstehst du hier unter "mit" ?

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