Wettbewerb! Möglichkeiten für n rote und n schwarze Kugeln in einer Reihe

05.10.2021, 14:09	expert111	Auf diesen Beitrag antworten »
Möglichkeiten für n rote und n schwarze Kugeln in einer Reihe Meine Frage: Hallo, ich bin im Mathematik Leistungskurs und uns wurde zur Kombinatorik folgende Knobelaufgabe gestellt, wo ich leider einfach nicht weiterkomme: Für eine natürliche Zahl n werden alle Möglichkeiten betrachtet, n rote und n schwarze Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Zwei Anordnungen werden dabei als gleich angesehen, wenn auf den Plätzen "1", "2", ..., "2n" jeweils die Farben der Kugeln übereinstimmen. Man beweise, dass die Anzahl dieser Anordnungen durch (n+1) teilbar ist. Meine Ideen: Mit einer Kombinatorikformel für die Anzahl an möglichen Anordnungen bei gleichen Objekten ist die Anzahl an Anordnungen hier (2n)!: (n!*n!).
05.10.2021, 15:04	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Formel ist schonmal korrekt. Wenn du dir das einmal ausschreibst, siehst du, dass was gekürzt werden kann: $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{n!\cdot n!} = \frac{1\cdot2\cdot\dots\cdot (2n-1)\cdot(2n)}{1\cdot2\cdot\dots...n \cdot 1\cdot 2\cdot\dots\cdot n}. \end{eqnarray}$ Fällt es dir auf?
05.10.2021, 15:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Knobelaufgabe stammt aus der aktuellen Matheolympiade. Wir prüfen, ob der Abgabetermin schon erledigt ist.

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