Kombinationsgleichungen entwickeln

06.10.2021, 12:19	fischstäbchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinationsgleichungen entwickeln Hallo zusammen, ich habe mich etwas mit Kombinatorik befasst und bin dabei auf eine relativ allgemeine Frage gestoßen die ich mir nicht beatnworten kann, ich denke für euch eine Leichtigkeit. Unzwar habe ich mir einfach überlegt wie ich mir eine Gleichung entwickeln kann um auf die Anzahl möglicher Kombinationen aus einer Menge "n" mit "k" Objekten zu schließen. Konkret: Ich habe n Spieler und eine Gruppengröße von k wie viele mögliche Teamzusammenstellungen ergeben sich. Ein bisschen googlen ergab: Allgemeiner Fall: Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} := \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ so weit so gut. Jetzt war es mir aber wichtig selber eine Gleichung zu finden, daher habe ich mir einfach für n=3...6 und k=2 Tabellen aufgestellt, ein bisschen überlegt und kam zu den Gleichungen: 1. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{p=1}^{n} (n-p) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{p=1}^{(n-1)} p \end{eqnarray}$ Die Gleichungen funktionieren für den Fall das k=2 beträgt. Wie findet man nun aber die allgemeine Darstellung wie ich sie oben gepostet habe für eine veränderliches k? Dazu habe ich einfach mal die Gleichungen gleichgesetzt und ein bisschen rumgerechnet, das Ergebnis dabei war: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{p=1}^{n} (n-p)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4)=\frac{4321}{2121} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (34)-1-2-3=\frac{43}{21} \end{eqnarray}$ jetzt sehen die beiden Seiten sich schon sehr ähnlich, für diesen (einfachen) Fall erkennt man auch sehr schnell, das die Summe der Subtraktion auf der linken Seite genau der Hälfte der Multiplikation ergibt, sprich, ich könnte nun auch schreiben: $\begin{eqnarray} (34)-1-2-3=\frac{43}{2} \end{eqnarray}$ womit ich dasselbe Ergebnis erhalte wie wenn ich in die allgemeine Form einsetze und umforme. Um nun aber auf die Gleichung mit den Fakultäten zu kommen benötigt es einiges an Fantasie. Ich müsste nun den Bruch im Zähler und Nenner um 12 ergänzen, dann hätte ich es ja "quasi", aber auch nur quasi, denn gerade den Nenner bekomme ich auf diiesem Wege nicht so hergeleitet wie er in der allgemeinen Form ist. Daher nun zu meiner Frage, wie wäre das richtige Vorgehen sich so eine Gleichung von Grund auf herzuleiten, wenn es offensichtlich über eine Wertetabelle nicht zur allgemeingültigen Gleichung führt?
06.10.2021, 12:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich musst du dazu nur jeweils die kurzen Abschnitte "Anzahl" der beiden Wiki-Artikel Variation ohne Wiederholung Kombination ohne Wiederholung durchlesen und -denken. Eigentlich interessieren dich hier nur die Kombinationen, aber die Erklärung von deren Anzahlformel baut inhaltlich auf der Variations-Anzahl auf.

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