Parametrisierung von Untermannigfaltigkeiten |
| 07.10.2021, 14:48 | rhombus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Parametrisierung von Untermannigfaltigkeiten Hallo, ich habe große Probleme den Satz im Bildanhang nachzuvollziehen, einige Erläuterungen könnten mir vielleicht helfen, dieses Ungetüm besser zu verstehen. Meine Ideen: Nach meinem Verständnis bezieht sich die Aussage darauf, dass jeder Graph (also die Menge aller Punkte einer Funktion(?)) einer k-mal stetig-differenzierbaren Funktion eine Untermannigfaltigkeit ist, bzw. dass sich jede Untermannigfaltigkeit lokal durch eine solche Abbildung parametrisieren lässt. Bedeutet das beispielsweise, dass der Graph der Funktion: F:R^2-->R, F(x,y)=x^2+y^2 eine Untermannigfaltigkeit ist (in diesem Fall würde ich annehmen, dass er eine Untermannigfaltigkeit des R^2 wäre, oder)? Wenn ich mir die Anforderungen an eine Untermannigfaltigkeit anschaue (eine offene Umgebung zu jedem Punkt des Graphen existiert und eine Immersion lässt sich durch Einschränkung des Definitionsbereich auch leicht angeben), kann ich akzeptieren, dass es sich tatsächlich um eine Untermannigfaltigkeit handelt, aber mir fehlt jede Intuition, dieses Ergebnis irgendwie zu deuten. Eventuell werfe ich auch die Begrifflichkeiten durcheinander und jemand kann mich an dieser Stelle korrigieren. Vielen Dank! |
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| 08.10.2021, 07:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Graph dieser Funktion ist ein Paraboloid im . Eine hübsche glatte Fläche, viel schöner kann eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des nicht aussehen. https://www.wolframalpha.com/input/?i=F%...3Dx%5E2%2By%5E2 |
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