Komposition

08.10.2021, 13:38

klasse93

Komposition

Seien $\begin{eqnarray*} f: [1,\infty [ \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: [0,\infty [ \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für die Komposition $\begin{eqnarray*} g \circ f: [1,\infty[ \to \mathbb{R}: \end{eqnarray*}$

Hier ist als Antwort richtig, dass die Komposition injektiv ist. Aber das verstehe ich nicht ganz. Der Wertebereich von f liegt doch nicht im Definitionsbereich von g, also wäre doch die richtige Antwort, dass die Komposition nicht existiert? verwirrt

Also es gilt ja: $\begin{eqnarray*} [1,\infty [ \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \subset [1,\infty [ \end{eqnarray*}$ verwirrt

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

08.10.2021, 18:02

Elvis

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f hat offenbar eine Nullstelle bei 1, ist sonst überall positiv, nimmt als rechter Ast einer Parabel jeden nichtnegativen Wert an, also ist der Wertebereich von f gleich dem Definitionsbereich von g. Die Komposition existiert und ist injektiv, aber nicht surjektiv.

09.10.2021, 20:03

Iorek

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RE: Komposition

Zitat:

Original von klasse93
Seien $\begin{eqnarray*} f: [1,\infty [ \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: [0,\infty [ \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ . [...] Der Wertebereich von f liegt doch nicht im Definitionsbereich von g, also wäre doch die richtige Antwort, dass die Komposition nicht existiert? verwirrt

Was ist denn der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? In der Definition der Funktion $\begin{eqnarray*} f:[1,\infty)\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ um den Zielbereich, dieser muss aber mit dem Wertebereich nicht übereinstimmen. Anders gesagt: für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ mit dem Wertebereich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist stets $\begin{eqnarray*} W\subset B \end{eqnarray*}$ .

10.10.2021, 16:12

klasse93

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Ja, danke euch.

Das hatte ich mir dann auch gedacht. Also, es hat auf jeden Fall Klick gemacht.

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